【題目】如圖,拋物線yax2+bx+c經(jīng)過A(﹣3,0),B1,0),C03)三點.

1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

2)如圖1P為拋物線上在第二象限內(nèi)的一點,若△PAC面積為3,求點P的坐標(biāo);

3)如圖2,D為拋物線的頂點,在線段AD上是否存在點M,使得以M,A,O為頂點的三角形與△ABC相似?若存在,求點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】1y=﹣x22x+3;(2)點P的坐標(biāo)為(﹣1,4)或(﹣2,3);(3)存在,()或(,),見解析.

【解析】

1)利用待定系數(shù)法,然后將AB、C的坐標(biāo)代入解析式即可求得二次函數(shù)的解析式;
2))過P點作PQ垂直x軸,交ACQ,把APC分成兩個APQCPQ,把PQ作為兩個三角形的底,通過點A,C的橫坐標(biāo)表示出兩個三角形的高即可求得三角形的面積.
3)通過三角形函數(shù)計算可得∠DAO=ACB,使得以M,AO為頂點的三角形與ABC相似,則有兩種情況,∠AOM=CAB=45°,即OMy=-x,若∠AOM=CBA,則OMy=-3x+3,然后由直線解析式可求OMAD的交點M

1)把A(﹣30),B1,0),C0,3)代入拋物線解析式yax2+bx+c

解得,

所以拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=﹣x22x+3

2)如解(2)圖1,過P點作PQ平行y軸,交ACQ點,

A(﹣3,0),C0,3),

∴直線AC解析式為yx+3,

設(shè)P點坐標(biāo)為(x,﹣x22x+3.),則Q點坐標(biāo)為(x,x+3),

PQ=﹣x22x+3﹣(x+3)=﹣x23x

SPAC,

,

解得:x1=﹣1x2=﹣2

當(dāng)x=﹣1時,P點坐標(biāo)為(﹣1,4),

當(dāng)x=﹣2時,P點坐標(biāo)為(﹣2,3),

綜上所述:若PAC面積為3,點P的坐標(biāo)為(﹣1,4)或(﹣23),

3)如解(3)圖1,過D點作DF垂直x軸于F點,過A點作AE垂直BCE點,

D為拋物線y=﹣x22x+3的頂點,

D點坐標(biāo)為(﹣1,4),

又∵A(﹣3,0),

∴直線ACy2x+4,AF2,DF4,tanPAB2

B1,0),C0,3

tanABC3,BCsinABC,直線BC解析式為y=﹣3x+3

AC4

AEACsinABC,BE,

CE,

tanACB

tanACBtanPAB2,

∴∠ACB=∠PAB,

∴使得以M,AO為頂點的三角形與ABC相似,則有兩種情況,如解(3)圖2

.當(dāng)∠AOM=∠CAB45°時,ABC∽△OMA

OMy=﹣x,

設(shè)OMAD的交點Mx,y

依題意得:

解得,

M點為(,).

.若∠AOM=∠CBA,即OMBC,

∵直線BC解析式為y=﹣3x+3

∴直線OMy=﹣3x,設(shè)直線OMAD的交點Mx,y).則

依題意得:,

解得,

M點為(,),

綜上所述:存在使得以MA,O為頂點的三角形與ABC相似的點M,其坐標(biāo)為()或(,).

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖,已知第一象限內(nèi)的點A在反比例函數(shù)y=的圖象上,第二象限內(nèi)的點B在反比例函數(shù)y=的圖象上,且OA⊥OB,cosA=,則k的值為( )

A. -3  B. -6  C. -4 D. -

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A.168B.1616C.128D.1612

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【題目】閱讀理解:在平面直角坐標(biāo)系中,任意兩點Ax1,y1),Bx2y2)之間的位置關(guān)系有以下三種情形;

①如果ABx軸,則y1y2,AB=|x1x2|

②如果ABy軸,則x1x2,AB=|y1y2|

③如果ABx軸、y軸均不平行,如圖,過點A作與x軸的平行線與過點B作與y軸的平行線相交于點C,則點C坐標(biāo)為(x2,y1),由①得AC=|x1x2|;由②得BC=|y1y2|;根據(jù)勾股定理可得平面直角坐標(biāo)系中任意兩點的距離公式AB

小試牛刀:

1)若點A坐標(biāo)為(﹣2,3),B點坐標(biāo)為(3,3)則AB   ;

2)若點A坐標(biāo)為(3,2),B點坐標(biāo)為(3,﹣4)則AB   ;

3)若點A坐標(biāo)為(32),B點坐標(biāo)為(7,﹣1)則AB   

學(xué)以致用:

若點A坐標(biāo)為(22),點B坐標(biāo)為(44),點Px軸上的動點,當(dāng)AP+PB取得最小值時點P的坐標(biāo)為  并求出AP+PB最小值=  ;

挑戰(zhàn)自我:

已知M,N根據(jù)數(shù)形結(jié)合,直接寫出M的最小值=   ;N的最大值=   ;

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【題目】某校為了慶祝建國七十周年,決定舉辦一臺文藝晚會,為了了解學(xué)生最喜愛的節(jié)目形式,隨機抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,規(guī)定每人從歌曲,舞蹈小品,相聲其它五個選項中選擇一個,并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖表,請根據(jù)圖中信息,解答下列題:

最喜愛的節(jié)目

人數(shù)

歌曲

15

舞蹈

a

小品

12

相聲

10

其它

b

1)在此次調(diào)查中,該校一共調(diào)查了   名學(xué)生;

2a   ;b   ;

3)在扇形計圖中,計算歌曲所在扇形的圓心角的度數(shù);

4)若該校共有1200名學(xué)生,請你估計最喜愛相聲的學(xué)生的人數(shù).

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【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于⊙OAB是⊙O的直徑,ACCE,連接AEBC于點D,延長DCF點,使CFCD,連接AF

1)判斷直線AF與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由.

2)若AC10,tanCAE,求AE的長.

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【題目】為了美化環(huán)境,建設(shè)宜居成都,我市準(zhǔn)備在一個廣場上種植甲、乙兩種花卉,經(jīng)市場調(diào)查,甲種花卉的種植費用y(元)與種植面積xm2)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示,乙種花卉的種植費用為每平方米100元.

1)直接寫出當(dāng)0≤x≤300x300時,yx的函數(shù)關(guān)系式;

2)廣場上甲、乙兩種花卉的種植面積共1200m2,若甲種花卉的種植面積不少于200m2,且不超過乙種花卉種植面積的2倍,那么應(yīng)該怎樣分配甲、乙兩種花卉的種植面積才能使種植總費用最少?最少總費用為多少元?

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1)求證:BEFE;

2)求證:∠AFE=∠BDC;

3)已知:sinBAEAB6,求BC的長.

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【題目】在星期一的第八節(jié)課,我校體育老師隨機抽取了九年級的總分學(xué)生進(jìn)行體育中考的模擬測試,并對成績進(jìn)行統(tǒng)計分析,繪制了頻數(shù)分布表和統(tǒng)計圖,按得分劃分成A、B、C、D、E、F六個等級,并繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖表.

 等級

 得分x(分)

 頻數(shù)(人)

 A

 95<x≤100

 4

 B

 90<x≤95

 m

 C

 85<x≤90

 n

 D

 80<x≤85

 24

 E

 75<x≤80

 8

 F

 70<x≤75

 4

請你根據(jù)圖表中的信息完成下列問題:

1)本次抽樣調(diào)查的樣本容量是   .其中m=   ,n=   

2)扇形統(tǒng)計圖中,求E等級對應(yīng)扇形的圓心角α的度數(shù);

3)我校九年級共有700名學(xué)生,估計體育測試成績在A、B兩個等級的人數(shù)共有多少人?

4)我校決定從本次抽取的A等級學(xué)生(記為甲、乙、丙、。┲,隨機選擇2名成為學(xué)校代表參加全市體能競賽,請你用列表法或畫樹狀圖的方法,求恰好抽到甲和乙的概率.

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