Question

如圖，已知直線y=2x+12分別與y軸，x軸交于A，B兩點，點M在y軸上，以點M為圓心的OM與直線AB相切于點D，連接PD．
（1）求證：△ADM∽△AOB；
（2）如果OM的半徑為2

5

，求出點M的坐標(biāo)，并寫出以(

5

2

，

29

2

)為頂點，且過點M的拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，在此拋物線上是否存在點P，使得P，A，M三點為頂點的三角形與△AOB相似？如果存在，請求出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由直線與圓相切可知，∠ADM=∠AOB=90°，公共角為∠A，利用“AA”可證△ADM∽△AOB；
（2）設(shè)A（0，m），由直線y=2x+12可知，OA=12，OB=6，則AM=12-m，DM=2

5

，利用勾股定理得AB=6

5

，由△ADM∽△AOB，利用相似比求m的值即可，設(shè)拋物線頂點式，將M點坐標(biāo)代入，可求拋物線解析式；
（3）存在，△AOB中，OA：OB=12：6=2：1，則所求直角三角形兩直角邊的比為2：1，根據(jù)△PAM中，頂點P，A，M分別為直角頂點，根據(jù)拋物線解析式分別求符合條件的點P的坐標(biāo)．

解答：（1）證明：∵⊙M與直線AB相切，∴∠ADM=∠AOB=90°，
又∵∠A=∠A，∴△ADM∽△AOB；

（2）解：設(shè)M（0，m），
由直線y=2x+12得，OA=12，OB=6，
則AM=12-m，而DM=2

5

，
在Rt△AOB中，AB=

OA2+OB2

=

122+62

6

5

，
∵△ADM∽△AOB，∴

AM

DM

=

AB

OB

，即

12-m

2 5

=

6 5

6

，解得m=2，
∴M（0，2），設(shè)頂點為（

5

2

，

29

2

）的拋物線解析式為y=a（x-

5

2

）²+

29

2

，
將M點坐標(biāo)代入，得a（0-

5

2

）²+

29

2

=2，解得a=-2，
所以，拋物線解析式為y=-2（x-

5

2

）²+

29

2

；

（3）解：存在．
△PAM中，①當(dāng)頂點M為直角頂點時，M、P兩點關(guān)于拋物線對稱軸x=

5

2

軸對稱，此時MP=5，AM=12-2=10，AM：MP=2：1，符合題意，P（5，2）；
②當(dāng)頂點A為直角頂點時，P點縱坐標(biāo)為12，代入拋物線解析式，得-2（x-

5

2

）²+

29

2

=12，解得x=

5

2

±

5

2

，此時AP=

5

2

±

5

2

，AM=10，不符合題意；
③當(dāng)頂點P為直角頂點時，則由相似三角形的性質(zhì)可知，P（n，2n+2），或P（2n，n+2），
若P（n，2n+2），則2n+

1

2

n=10，解得n=4，而當(dāng)x=4時，y=-2（4-

5

2

）²+

29

2

=10，2n+2=10，符合題意，
若P（2n，n+2），則n+4n=10，解得n=2，而當(dāng)x=2n=4時，y=-2（4-

5

2

）²+

29

2

=10，n+2=4，不符合題意，
所以，符合條件的P點坐標(biāo)為（5，2），（4，10）．

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合運用．關(guān)鍵是由三角形相似，利用相似比求M點坐標(biāo)，利用拋物線的頂點式求拋物線解析式，根據(jù)Rt△AOB的兩直角邊的關(guān)系及相似三角形的性質(zhì)求P點坐標(biāo)．