Question

已知：如圖邊長為2的正方形ABCD中，∠MAN的兩邊分別交BC、CD邊于M、N兩點，且∠MAN=45°
①求證：MN=BM+DN；
②若AM、AN交對角線BD于E、F兩點．設BF=y，DE=x，求y與x的函數關系式．

Answer 1

分析：（1）將△ABM繞點A逆時針旋轉90°至△ADM′，根據正方形的性質和且∠MAN=45°可進行證明．
（2）證明△BFA∽△DAE，根據相似三角形的對應邊成比例，可列出函數式．

解答：（1）證明：將△ABM繞點A逆時針旋轉90°至△ADM′，
∵∠M′AN=∠DAN+∠MAB=45°，AM′=AM，BM=DM′，
∵M′AN=∠MAN=45°，AN=AN，
∴△AMN≌△AM′N′，
∴MN=NM′，
∴M′N=M′D+DN=BM+DN，
∴MN=BM+DN．

（2）解：∵∠AED=45°+∠BAE，∠FAB=45°+∠BAE，
∴∠AED=∠FAB，
∵∠ABF=∠ADE，
∴△BFA∽△DAE，
∴

BF

AD

=

AB

DE

，
∴

y

2

=

2

x

，
∴y=

4

x

．

點評：本題考查了相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，正方形的性質等知識點．