Question

王老師正準(zhǔn)備裝修新買(mǎi)房屋的地面，到一家裝修公司去看地磚，公司現(xiàn)有一批邊長(zhǎng)相等的正多邊形瓷磚（如下圖）供用戶(hù)選擇．

（1）若王老師考慮只用其中一種正多邊形鋪滿(mǎn)地面，則供他選擇的正多邊形有哪些？
（2）若王老師考慮想從其中任取兩種來(lái)組合，能鋪滿(mǎn)地面的正多邊形組合有哪些？
（3）若王老師考慮從其中任取三種來(lái)組合，能鋪滿(mǎn)地面的正多邊形組合有哪些？
（4）你能說(shuō)出其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理嗎？

Answer 1

解：（1）正三角形的一個(gè)內(nèi)角度數(shù)為180-360÷3=60°，是360°的約數(shù)，能鑲嵌平面；
正方形的一個(gè)內(nèi)角度數(shù)為180-360÷4=90°，是360°的約數(shù)，能鑲嵌平面；
正六邊形的一個(gè)內(nèi)角度數(shù)為180-360÷6=120°，是360°的約數(shù)，能鑲嵌平面；
正八邊形的一個(gè)內(nèi)角度數(shù)為180-360÷8=135°，不是360°的約數(shù)，不能鑲嵌平面；
正十二邊形的一個(gè)內(nèi)角度數(shù)為180-360÷12=150°，不是360°的約數(shù)，不能鑲嵌平面；
∴供他選擇的正多邊形有正三角形，正方形，正六邊形；

（2）正三角形的一個(gè)內(nèi)角度數(shù)為180-360÷3=60°，正方形的一個(gè)內(nèi)角度數(shù)為180-360÷4=90°，3×60+2×90=360°，∴3個(gè)正三角形和2個(gè)正方形可進(jìn)行密鋪；
正三角形的一個(gè)內(nèi)角度數(shù)為180-360÷3=60°，正六邊形的一個(gè)內(nèi)角度數(shù)為180-360÷6=120°，2×60+2×120=360°或4×60+120=360°，可作平面鑲嵌；
正三角形的一個(gè)內(nèi)角度數(shù)為180-360÷3=60°，正八邊形的一個(gè)內(nèi)角度數(shù)為180-360÷8=135°，任意若干個(gè)不能組成平面鑲嵌；
正三角形的一個(gè)內(nèi)角度數(shù)為180-360÷3=60°，正十二邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為180-360÷12=150°，2×150+60=360°，可作平面鑲嵌；
正方形的一個(gè)內(nèi)角度數(shù)為180-360÷4=90°，正六邊形的一個(gè)內(nèi)角度數(shù)為180-360÷6=120°，任意若干個(gè)兩種圖形都不能組成平面鑲嵌；
正方形的一個(gè)內(nèi)角度數(shù)為180-360÷4=90°，正八邊形的一個(gè)內(nèi)角度數(shù)為180-360÷8=135°，1×90+2×135=360°，可作平面鑲嵌；
正方形的一個(gè)內(nèi)角度數(shù)為180-360÷4=90°，正十二邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為180-360÷12=150°，任意若干個(gè)兩種圖形都不能組成平面鑲嵌；
正六邊形的一個(gè)內(nèi)角度數(shù)為180-360÷6=120°，正十二邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為180-360÷12=150°，任意若干個(gè)兩種圖形都不能組成平面鑲嵌；
正八邊形的一個(gè)內(nèi)角度數(shù)為180-360÷8=135°，正十二邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為180-360÷12=150°，任意若干個(gè)兩種圖形都不能組成平面鑲嵌；
從其中任取兩種來(lái)組合，能鋪滿(mǎn)地面的正多邊形組合有正三角形和正方形；正三角形和正六邊形；正三角形和正十二邊形；正方形和正八邊形；

（3）正方形的一個(gè)內(nèi)角度數(shù)為180-360÷4=90°，正六邊形的一個(gè)內(nèi)角度數(shù)為180-360÷6=120°，正十二邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為180-360÷12=150°，那么一個(gè)正方形，一個(gè)正六邊形，一個(gè)正十二邊形可組成平面鑲嵌；
正三角形的一個(gè)內(nèi)角度數(shù)為180-360÷3=60°，正方形的一個(gè)內(nèi)角度數(shù)為180-360÷4=90°，正十二邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為180-360÷12=150°，那么2個(gè)正三角形，一個(gè)正方形，1個(gè)正十二邊形可組成平面鑲嵌；
正三角形的一個(gè)內(nèi)角度數(shù)為180-360÷3=60°，正方形的一個(gè)內(nèi)角度數(shù)為180-360÷4=90°，正六邊形的一個(gè)內(nèi)角度數(shù)為180-360÷6=120°，那么1個(gè)正三角形，2個(gè)正方形，1個(gè)正六邊形可組成平面鑲嵌；
∴從其中任取三種來(lái)組合，能鋪滿(mǎn)地面的正多邊形組合有：正三角形，正方形，正十二邊形，或正方形，正六邊形，正十二邊形或正三角形，正方形，正六邊形．
（4）能鋪滿(mǎn)地面的多邊形在一個(gè)頂點(diǎn)處的各角的和為360°．
分析：（1）看哪個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是360°的約數(shù)，就能鑲嵌平面；
（2）求得正多邊形相應(yīng)的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，分別選取各種2種圖形的組合，找到同一頂點(diǎn)處的若干個(gè)內(nèi)角度數(shù)相加為360°的組合即可；
（3）求得正多邊形相應(yīng)的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，分別選取各種3種圖形的組合，找到同一頂點(diǎn)處的若干個(gè)內(nèi)角度數(shù)相加為360°的組合即可；
（4）蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理為：能鋪滿(mǎn)地面的多邊形在一個(gè)頂點(diǎn)處的角的和為360°．
點(diǎn)評(píng)：一種或多種正多邊形組成平面鑲嵌，一個(gè)頂點(diǎn)處的各個(gè)角的和，應(yīng)等于360°．