Question

已知二次函數(shù)y=-x²+（m-2）x+3（m+1），
（1）求證：當m≠-4時，這個二次函數(shù)的圖象與x軸必有兩個交點；
（2）若這個二次函數(shù)的圖象如圖所示，求m的取值范圍；
（3）在（2）的情況下，且|OA|•|OB|=6，求點A、B、C三點的坐標．

Answer 1

解：（1）∵△=（m-2）²-4（-1）•3（m+1）=（m+4）²＞0，
∴拋物線與x軸必有兩個交點；

（2）由圖象可知，拋物線的對稱軸在y軸的左側(cè)，C點在x軸的上方，
所以，
解得-1＜m＜2；

（3）設(shè)方程-x²+（m-2）x+3（m+1）=0的兩根為x₁、x₂，且x₁＜0，x₂＞0
由圖可知|OA|=|x₁|，|OB|=|x₂|，由|OA|•|OB|=6，可知x₁x₂=-6
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可知-3（m+1）=-6，
則m=1，于是二次函數(shù)的解析式為y=-x²-x+6，
令y=0，解方程-x²-x+6=0，得x₁=-3，x₂=2，
所以點A的坐標是（-3，0），
點B的坐標是（2，0），
把x=0代入y=-x²-x+6，得y=6，
所以C的坐標是（0，6）．
分析：（1）根據(jù)求得△值，再根據(jù)△＞0來判斷二次函數(shù)的圖象與x軸必有兩個交點；
（2）首先求得二次函數(shù)y=-x²+（m-2）x+3（m+1）圖象頂點坐標，再根據(jù)頂點坐標符號來判斷m的取值范圍．
（3）將求二次函數(shù)y=-x²+（m-2）x+3（m+1）與x軸的交點轉(zhuǎn)化為求方程-x²+（m-2）x+3（m+1）=0的解，再根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可求得m的值，再將m的值代入二次函數(shù)．由圖中不難發(fā)現(xiàn)A、B點的是二次函數(shù)與x軸的交點，令y=0，求得A、B點坐標；C點是二次函數(shù)與x軸的交點，令x=0，求得y的值．至此三點坐標確定．
點評：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點的求法等知識點．主要考查學生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法．