(2013•衡陽)如圖,已知拋物線經(jīng)過A(1,0),B(0,3)兩點(diǎn),對稱軸是x=-1.
(1)求拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)動點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā),以每秒1個單位長度的速度在線段OA上運(yùn)動,同時動點(diǎn)M從O點(diǎn)出發(fā)以每秒3個單位長度的速度在線段OB上運(yùn)動,過點(diǎn)Q作x軸的垂線交線段AB于點(diǎn)N,交拋物線于點(diǎn)P,設(shè)運(yùn)動的時間為t秒.
①當(dāng)t為何值時,四邊形OMPQ為矩形;
②△AON能否為等腰三角形?若能,求出t的值;若不能,請說明理由.
分析:(1)利用頂點(diǎn)式、待定系數(shù)法求出拋物線的解析式;
(2)①當(dāng)四邊形OMPQ為矩形時,滿足條件OM=PQ,據(jù)此列一元二次方程求解;
②△AON為等腰三角形時,可能存在三種情形,需要分類討論,逐一計(jì)算.
解答:解:(1)根據(jù)題意,設(shè)拋物線的解析式為:y=a(x+1)2+k,
∵點(diǎn)A(1,0),B(0,3)在拋物線上,
4a+k=0
a+k=3
,
解得:a=-1,k=4,
∴拋物線的解析式為:y=-(x+1)2+4.

(2)①∵四邊形OMPQ為矩形,
∴OM=PQ,即3t=-(t+1)2+4,
整理得:t2+5t-3=0,
解得t=
-5±
37
2
,由于t=
-5-
37
2
<0,故舍去,
∴當(dāng)t=
37
-5
2
秒時,四邊形OMPQ為矩形;
②Rt△AOB中,OA=1,OB=3,∴tanA=3.
若△AON為等腰三角形,有三種情況:

(I)若ON=AN,如答圖1所示:
過點(diǎn)N作ND⊥OA于點(diǎn)D,則D為OA中點(diǎn),OD=
1
2
OA=
1
2
,
∴t=
1
2
;
(II)若ON=OA,如答圖2所示:
過點(diǎn)N作ND⊥OA于點(diǎn)D,設(shè)AD=x,則ND=AD•tanA=3x,OD=OA-AD=1-x,
在Rt△NOD中,由勾股定理得:OD2+ND2=ON2,
即(1-x)2+(3x)2=12,解得x1=
1
5
,x2=0(舍去),
∴x=
1
5
,OD=1-x=
4
5
,
∴t=
4
5

(III)若OA=AN,如答圖3所示:
過點(diǎn)N作ND⊥OA于點(diǎn)D,設(shè)AD=x,則ND=AD•tanA=3x,
在Rt△AND中,由勾股定理得:ND2+AD2=AN2,
即(x)2+(3x)2=12,解得x1=
10
10
,x2=-
10
10
(舍去),
∴OD=1-x=1-
10
10

∴t=1-
10
10

綜上所述,當(dāng)t為
1
2
秒、
4
5
秒、(1-
10
10
)秒時,△AON為等腰三角形.
點(diǎn)評:本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、解一元二次方程、勾股定理、解直角三角形、矩形性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn),綜合性比較強(qiáng),有一定的難度.第(2)問為運(yùn)動型與存在型的綜合性問題,注意要弄清動點(diǎn)的運(yùn)動過程,進(jìn)行分類討論計(jì)算.
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