Question

如圖，P是⊙O外一點，PA是⊙O的切線，A是切點，B是⊙O上一點，且PA=PB，延長BO分別與⊙O切線PA相交于點C、Q兩點．
（1）求證：PB是⊙O的切線；
（2）D為PB的中點，QD交AB于點E，若⊙O的半徑為3，CQ=2，求的值．

Answer 1

（1）證明：連結(jié)OA，如圖，
∵PA是⊙O的切線，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°，
在△POA和△POB中
，
∴△POA≌△POB（SSS），
∴∠OBP=∠OAP=90°，
∴OB⊥PB，
∴PB是⊙O的切線；

（2）AB與OP交于H，連結(jié)DH，如圖，
在Rt△OCA中，OQ=OC+CQ=3+2=5，OA=3，則AQ==4，
設(shè)PA=x，則PB=x，PQ=4+x，
在Rt△PBQ中，∵BQ²+BP²=PQ²，
∴8²+x²=（x+4）²，解得x=6，
∴PA=PB=6，
∵PA與PB為⊙O的切線，
∴OP平分∠BPA，
∴OP垂直平分AB，即點H為AB的中點，
∵D為PB的中點，
∴DH為△BAP的中位線，
∴DH=PA=3，DH∥PA，
∵DH∥AQ，
∴△DHE∽△QEA，
∴==，
設(shè)AE=4t，HE=3t，則AH=AE+HE=7t，
∴BE=BH+HE=AH+HE=7t+3t=10t，
∴==．
分析：（1）根據(jù)切線的性質(zhì)由PA是⊙O的切線得到∠OAP=90°，再利用“SSS”判斷△POA≌△POB，則∠OBP=∠OAP=90°，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）先用勾股定理計算出AQ=4，再計算出AP=6，利用切線長定理可得到H點為AB的中點，易得DH為△BAP的中位線，則DH=PA=3，DH∥PA，利用DH∥AQ得到△DHE∽△QEA，所以==，設(shè)AE=4t，HE=3t，則AH=AE+HE=7t，于是BE=BH+HE=AH+HE=10t，最后計算．
點評：本題考查了切線的判定與性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑；經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．