Question

（2007•福州）如圖，直線AC∥BD，連接AB，直線AC，BD及線段AB把平面分成①、②、③、④四個部分，規(guī)定：線上各點不屬于任何部分．當動點P落在某個部分時，連接PA，PB，構(gòu)成∠PAC，∠APB，∠PBD三個角．（提示：有公共端點的兩條重合的射線所組成的角是0°角）
（1）當動點P落在第①部分時，求證：∠APB=∠PAC+∠PBD；
（2）當動點P落在第②部分時，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？（直接回答成立或不成立）
（3）當動點P落在第③部分時，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之間的關(guān)系，并寫出動點P的具體位置和相應的結(jié)論．選擇其中一種結(jié)論加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）如圖1，延長BP交直線AC于點E，由AC∥BD，可知∠PEA=∠PBD．由∠APB=∠PAE+∠PEA，可知∠APB=∠PAC+∠PBD；
（2）過點P作AC的平行線，根據(jù)平行線的性質(zhì)解答；
（3）根據(jù)P的不同位置，分三種情況討論．
解答：解：（1）解法一：如圖1延長BP交直線AC于點E．
∵AC∥BD，∴∠PEA=∠PBD．
∵∠APB=∠PAE+∠PEA，
∴∠APB=∠PAC+∠PBD；

解法二：如圖2
過點P作FP∥AC，
∴∠PAC=∠APF．
∵AC∥BD，∴FP∥BD．
∴∠FPB=∠PBD．
∴∠APB=∠APF+∠FPB
=∠PAC+∠PBD；

解法三：如圖3，
∵AC∥BD，
∴∠CAB+∠ABD=180°，
∠PAC+∠PAB+∠PBA+∠PBD=180°．
又∠APB+∠PBA+∠PAB=180°，
∴∠APB=∠PAC+∠PBD．

（2）不成立．

（3）（a）
當動點P在射線BA的右側(cè)時，結(jié)論是
∠PBD=∠PAC+∠APB．
（b）當動點P在射線BA上，
結(jié)論是∠PBD=∠PAC+∠APB．
或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°，
∠PAC=∠PBD（任寫一個即可）．
（c）當動點P在射線BA的左側(cè)時，
結(jié)論是∠PAC=∠APB+∠PBD．
選擇（a）證明：
如圖4，連接PA，連接PB交AC于M．
∵AC∥BD，
∴∠PMC=∠PBD．
又∵∠PMC=∠PAM+∠APM（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和），
∴∠PBD=∠PAC+∠APB．
選擇（b）證明：如圖5
∵點P在射線BA上，∴∠APB=0度．
∵AC∥BD，∴∠PBD=∠PAC．
∴∠PBD=∠PAC+∠APB
或∠PAC=∠PBD+∠APB
或∠APB=0°，∠PAC=∠PBD．
選擇（c）證明：
如圖6，連接PA，連接PB交AC于F
∵AC∥BD，∴∠PFA=∠PBD．
∵∠PAC=∠APF+∠PFA，
∴∠PAC=∠APB+∠PBD．
點評：此題考查了角平分線的性質(zhì)；是一道探索性問題，旨在考查同學們對材料的分析研究能力和對平行線及角平分線性質(zhì)的掌握情況．認真做好（1）（2）小題，可以為（3）小題提供思路．