解答:解:(1)在拋物線y=x
2+px+q中,
當(dāng)x=0時(shí),y=q.即:C點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,q).
因?yàn)椋篛A=OC,D點(diǎn)與A點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱.
所以:A點(diǎn)的坐標(biāo)為(q,0);D點(diǎn)的坐標(biāo)為(-q,0).
將A(q,0)代入y=x
2+px+q中得:0=q
2+pq+q
即:q(q+p+1)=0
所以:q=0,(不符合題意,舍去.)
q+p=-1 ①
現(xiàn)在求點(diǎn)P的坐標(biāo),即拋物線y=x
2+px+q頂點(diǎn)的坐標(biāo):
橫坐標(biāo):-
;縱坐標(biāo):
,
設(shè)直線CD的方程為y=kx+b
因?yàn)橹本CD過(guò)C(0,q)、D(-q,0)兩點(diǎn),所以有方程組
q=b,0=-qk+b.
解得:k=1,b=q.
所以直線CD的解析式為:y=x+q.
因?yàn)辄c(diǎn)P在直線CD上,
所以
=-
+q
解得:p=0(不符合題意,舍去)
p=2 ②
又已經(jīng)求得的①、②兩等式得:p=2,q=-3.
因此;p、q的值分別為 2和-3.
(2)∵p=2,q=-3.
∴拋物線的解析式為y=x
2+2x-3,
A、D、C、P四點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-3,0)、(3,0)、(0,-3)、(-1,-4).
直線CD的方程式為y=x-3,
設(shè):過(guò)A點(diǎn)與直線CD平行的直線AQ的方程為:
y=x+b(因兩直線平行,所以一次項(xiàng)系數(shù)相等)
因?yàn)辄c(diǎn)A(-3,0)在直線AQ上,將其代入y=x+b中得:0=-3+b,解得:b=3
所以:直線AQ的方程為:y=x+3
下面求直線AQ(y=x+3)與拋物線y=x
2+2x-3的交點(diǎn)Q的坐標(biāo):
解方程組y=x
2+2x-3,y=x+3.得x
1=2,y
1=5;x
2=-3,y
2=0.
即:兩交點(diǎn)為A(-3,0);Q(2,5).
下面再求A、Q兩點(diǎn)距離和P、D兩點(diǎn)距離:從圖形可知
|AQ|=5
,|PD|=4
,
所以|AQ|≠|(zhì)PD|
這說(shuō)明AQ與PD不相等,所以在拋物線上不存在滿足四邊形APDQ是平行四邊形的Q點(diǎn).
(3)存在E點(diǎn),且E點(diǎn)坐標(biāo)為(9,6).
具體求解過(guò)程如下:
設(shè)E點(diǎn)是直線PC上的點(diǎn),且滿足AE垂直AP
求直線AP的方程,設(shè)直線AP的方程為y=kx+b
因?yàn)锳(-3,0),P(-1,-4)兩點(diǎn)在直線AP上,所以有方程組
0=-3k+b,-4=-k+b.解得:k=-2,b=-6.
所以直線AP的方程式為:y=-2x-6
因?yàn)橹本AE垂直直線AC,所以兩直線一次項(xiàng)系數(shù)之積等于-1
所以,設(shè)直線AE方程式為y=
x+b
A(-3,0)點(diǎn)在直線AE上,所以b=
,
所以直線AE的方程式為y=
x+
,
直線AE與直線CD相交于E點(diǎn),解兩直線方程組成的方程組得:x=9,y=6.
即E點(diǎn)的坐標(biāo)為(9,6).
在三角形ACD中,因?yàn)镺A=OD=OC,AD垂直CO,
所以∠ACD是直角,
在直角三角形APE中,AC是斜邊PE上的高,
所以△APC∽△EPA.