如圖,已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),∠AOB=30°,∠B=90°,且點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0).
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)A,B,O三點(diǎn),求此二次函數(shù)的解析式;
(3)在(2)中的二次函數(shù)圖象的OB段(不包括O,B點(diǎn))上,是否存在一點(diǎn)C,使得四邊形ABCO的面積最大?若存在,求出點(diǎn)C的坐標(biāo)及四邊形ABCO的最大面積;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】分析:(1)在Rt△OAB中,由∠AOB=30°可以得到OB=,過(guò)點(diǎn)B作BD垂直于x軸,垂足為D,利用已知條件可以求出OD,BD,也就求出B的坐標(biāo);
(2)根據(jù)待定系數(shù)法把A,B,O三點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式中就可以求出解析式;
(3)設(shè)存在點(diǎn)C(x,-x2+x),使四邊形ABCO面積最大,而△OAB面積為定值,只要△OBC面積最大,四邊形ABCO面積就最大.過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線CE,垂足為E,交OB于點(diǎn)F,則S△OBC=S△OCF+S△BCF=|CF|•|OE|+|CF|•|ED|=|CF|•|OD|=|CF|,而|CF|=yC-yF=-x2+x-x=-x2+x,這樣可以得到S△OBC=-x2+x,利用二次函數(shù)就可以求出△OBC面積最大值,也可以求出C的坐標(biāo).
解答:解:(1)在Rt△OAB中,
∵∠AOB=30°,
∴OB=,
過(guò)點(diǎn)B作BD垂直于x軸,垂足為D,
則OD=cos30°=,BD=BO=,
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(,);

(2)將A(2,0)、B(,)、O(0,0)三點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax2+bx+c,
得:
解方程組,
∴所求二次函數(shù)解析式是y=-x2+x;

(3)設(shè)存在點(diǎn)C(x,-x2+x)(其中0<x<),使四邊形ABCO面積最大,而△OAB面積為定值,
只要△OBC面積最大,四邊形ABCO面積就最大.
過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線CE,垂足為E,交OB于點(diǎn)F,
則S△OBC=S△OCF+S△BCF=|CF|•|OE|+|CF|•|ED|=|CF|•|OD|=|CF|,
而|CF|=yC-yF=-x2+x-x=-x2+x,
∴S△OBC=-x2+x,
∴當(dāng)x=時(shí),△OBC面積最大,最大面積為
此時(shí)C點(diǎn)坐標(biāo)為(,),
故四邊形ABCO的最大面積為:
點(diǎn)評(píng):本題考查的是二次函數(shù)綜合題,涉及到利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)的最大值等知識(shí),根據(jù)題意畫(huà)出圖形,利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵.
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精英家教網(wǎng)如圖,已知點(diǎn)F的坐標(biāo)為(3,0),點(diǎn)A、B分別是某函數(shù)圖象與x軸、y軸的交點(diǎn),點(diǎn)P是此圖象上的一動(dòng)點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x,PF的長(zhǎng)為d,且d與x之間滿足關(guān)系:d=5-
3
5
x
(0≤x≤5),則以下結(jié)論不正確的是(  )
A、OB=3B、OA=5
C、AF=2D、BF=5

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•黃岡模擬)如圖,已知點(diǎn)F的坐標(biāo)為(3,0),點(diǎn)A,B分別是以y軸為對(duì)稱軸的某二次函數(shù)部分圖象與x軸、y軸的交點(diǎn),點(diǎn)P是此圖象上的一動(dòng)點(diǎn).設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x,PF的長(zhǎng)為d,且d與x之間滿足關(guān)系:d=5-
3
5
x
(0≤x≤5),則此二次函數(shù)的解析式為
y2=-
16
25
x2+16
y2=-
16
25
x2+16

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

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(3)在(2)中的二次函數(shù)圖象的OB段(不包括O,B點(diǎn))上,是否存在一點(diǎn)C,使得四邊形ABCO的面積最大?若存在,求出點(diǎn)C的坐標(biāo)及四邊形ABCO的最大面積;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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