Question

如圖，AC是正方形ABCD的對(duì)角線，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是AB上一點(diǎn)，連接CQ，DP⊥CQ于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)P，連接OP，OQ；
求證：
（1）△BCQ≌△CDP；
（2）OP=OQ．

Answer 1

證明：

（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=∠PCD=90°，BC=CD，
∴∠2+∠3=90°，
又∵DP⊥CQ，
∴∠2+∠1=90°，
∴∠1=∠3，
在△BCQ和△CDP中，
．
∴△BCQ≌△CDP．

（2）連接OB．

由（1）：△BCQ≌△CDP可知：BQ=PC，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，
而點(diǎn)O是AC中點(diǎn)，
∴，
在△BOQ和△CDP中，．
∴△BOQ≌△COP，
∴OQ=OP．

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和DP⊥CQ于點(diǎn)E可以得到證明△BCQ≌△CDP的全等條件；
（2）根據(jù)（1）得到BQ=PC，然后連接OB，根據(jù)正方形的性質(zhì)可以得到證明△BOQ≌△COP的全等條件，然后利用全等三角形的性質(zhì)就可以解決題目的問題．
點(diǎn)評(píng)：解答本題要充分利用正方形的特殊性質(zhì)．注意在正方形中的特殊三角形的應(yīng)用，利用它們構(gòu)造證明全等三角形的條件，然后通過全等三角形的性質(zhì)解決問題．