Question

（2010•雙鴨山）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=2x+12的圖象分別交x軸，y軸于A，B兩點(diǎn)過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)交y軸正半軸與點(diǎn)M，且點(diǎn)M為線(xiàn)段OB的中點(diǎn)．
（1）求直線(xiàn)AM的函數(shù)解析式．
（2）試在直線(xiàn)AM上找一點(diǎn)P，使得S_△ABP=S_△AOB，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）若點(diǎn)H為坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在這樣的點(diǎn)H，使以A，B，M，H為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)H的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過(guò)函數(shù)y=2x+12求出A、M兩點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)坐標(biāo)求出直線(xiàn)AM的函數(shù)解析式；
（2）設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，按照等量關(guān)系“×|AP|×B到直線(xiàn)AM的距離=S_△AOB”即可求出；
（3）判斷能否構(gòu)成等腰梯形，主要看兩腰能否等腰，本題應(yīng)分別把AB、AM、BM看作底來(lái)判斷．
解答：解：（1）∵直線(xiàn)AB的函數(shù)解析式y(tǒng)=2x+12，
∴A（-6，0），B（0，12）．
又∵M(jìn)為線(xiàn)段OB的中點(diǎn)，
∴M（0，6）．
∴直線(xiàn)AM的解析式y(tǒng)=x+6；

（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)（x，x+6），則|AP|=|x+6|，B到直線(xiàn)AM的距離d=，
∴，
解得：x=6或-18．
∴P（6，12）或P（-18，-12）；

（3）存在這樣的點(diǎn)H，使以A，B，M，H為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形．
若以AM為底，BM為腰，過(guò)點(diǎn)B作AM的平行線(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)H的坐標(biāo)為（-12，0）時(shí)，以A，B，M，H為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形；
若以BM為底，AM為腰，過(guò)點(diǎn)A作BM的平行線(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)H的坐標(biāo)為（-6，18）時(shí)，以A，B，M，H為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形；
若以AB為底，BM為腰，過(guò)點(diǎn)M作AB的平行線(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)H的坐標(biāo)為（-，）時(shí)，以A，B，M，H為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形．
故所求點(diǎn)H的坐標(biāo)為（-12，0）或（-6，18）或（-，）．
點(diǎn)評(píng)：本題為一次函數(shù)綜合類(lèi)的題，需掌握由函數(shù)圖象求點(diǎn)的坐標(biāo)，能夠計(jì)算點(diǎn)到直線(xiàn)的距離．