Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=AD，∠BAD的平分線交BC于E，連接DE．
（1）說(shuō)明點(diǎn)D在△ABE的外接圓上；
（2）若∠AED=∠CED，試判斷直線CD與△ABE外接圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題中條件AB=AD，∠BAO=∠DAO，AO=AO可證明△AOB≌△AOD，所以O(shè)D=OB，可證點(diǎn)D在△ABE的外接圓上；
（2）根據(jù)∠C=90°，可得∠CED+∠CDE=90°；利用∠ODE=∠DEC，可知∠ODC=∠CDE+∠ODE=∠CDE+∠CED=90°，即CD與△ABE的外接圓相切．
解答：證明：（1）證法一：∵∠B=90°，
∴AE是△ABE外接圓的直徑．
取AE的中點(diǎn)O，則O為圓心，連接OB、OD．
在△AOB和△AOD中，
，
∴△AOB≌△AOD．
∴OD=OB．
∴點(diǎn)D在△ABE的外接圓上．

證法二：∵∠B=90°，
∴AE是△ABE外接圓的直徑．
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE．
∴∠ADE=∠B=90°．
取AE的中點(diǎn)O，則O為圓心，連接OD，則OD=AE．
∴點(diǎn)D在△ABE的外接圓上．

（2）證法一：直線CD與△ABE的外接圓相切．
理由：∵AB∥CD，∠B=90度．∴∠C=90°．
∴∠CED+∠CDE=90°．
又∵OE=OD，
∴∠ODE=∠OED．
又∠AED=∠CED，
∴∠ODE=∠DEC．
∴∠ODC=∠CDE+∠ODE=∠CDE+∠CED=90°．
∴CD與△ABE的外接圓相切．

證法二：直線CD與△ABE的外接圓相切．
理由：∵AB∥CD，∠B=90度．∴∠C=90°．
又∵OE=OD，
∴∠ODE=∠OED．
又∠AED=∠CED，
∴∠ODE=∠DEC．
∴OD∥BC．
∴∠ODC=90°．
∴CD與△ABE的外接圓相切．
點(diǎn)評(píng)：主要考查了直線與圓的位置關(guān)系和點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．利用三角形全等的方法來(lái)證明相等的線段和相等的角是常用的方法之一，要會(huì)靈活運(yùn)用．
并能根據(jù)圓心到直線的距離來(lái)判斷直線與圓的位置關(guān)系．