Question

如圖，在直角坐標系中，直線y=-

5

2

x+5與x軸交于B點，與y軸交于C點，直線AC經過點D（-2，3）并交x軸于點A．
（1）試求直線AC的函數關系式；
（2）過點A作BC的垂線交y軸于點E，求證：△AOE≌△COB；
（3）在x軸上是否存在一點P，使P點到D、E兩點的距離之和最��？若存在，請畫出圖形并求此時P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先由直線y=-

5

2

x+5與y軸交于C點，求出C點坐標，再根據C、D兩點在直線AC上，運用待定系數法即可求出直線AC的函數關系式；
（2）先求出A點坐標，得出OA=OC，再運用AAS證明即可；
（3）先求出E點坐標，再作出E點關于x軸的對稱點F，連接DF交x軸于點P，則P點到D、E兩點的距離之和最�。�運用待定系數法求出直線DF的解析式，從而求出P點坐標．

解答：解：（1）∵直線y=-

5

2

x+5與y軸交于C點，
∴C點坐標為（0，5）．
設直線AC的解析式為y=kx+b．
∵C、D兩點在直線AC上，
∴

b=5 -2k+b=3

，
解得

k=1 b=5

．
∴直線AC的函數關系式為y=x+5；

（2）∵直線AC交x軸于點A，
∴A點坐標為（-5，0），
∴OA=OC．
在△AOE與△COB中，
∵∠AOE=∠COB=90°，∠OAE=∠OCB=90°-∠B，OA=OC，
∴△AOE≌△COB；

（3）∵△AOE≌△COB，
∴OE=OB=2，
∴E點坐標為（0，2）．
作出E點關于x軸的對稱點F，則F（0，-2）．
連接DF交x軸于點P，則P點到D、E兩點的距離之和最小，此時PD+PE=PD+PF=DF．
設直線DF的解析式為y=mx+n，
把D（-2，3），F（0，-2）代入y=mx+n，得

-2m+n=3 n=-2

，
解得

m=- 5 2 n=-2

．
∴直線DF的解析式為y=-

5

2

x-2．
令y=0，得x=-

4

5

．
∴P點坐標為（-

4

5

，0）．

點評：本題考查了利用待定系數法求一次函數的解析式，全等三角形的判定及性質，軸對稱-最短路線問題，綜合性較強，難度中等．