如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸相交于A,B兩點(diǎn),與y軸相交于點(diǎn)C,直線y=kx+n(k≠0)經(jīng)過(guò)B,C兩點(diǎn),已知A(1,0),C(0,3),且BC=5.
(1)分別求直線BC和拋物線的解析式(關(guān)系式);
(2)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使得以B,C,P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
解:(1)∵C(0,3),即OC=3,BC=5,
∴在Rt△BOC中,根據(jù)勾股定理得:OB==4,即B(4,0),
把B與C坐標(biāo)代入y=kx+n中,得:,
解得:k=﹣,n=3,
∴直線BC解析式為y=﹣x+3;
由A(1,0),B(4,0),設(shè)拋物線解析式為y=a(x﹣1)(x﹣4)=ax2﹣5ax+4a,
把C(0,3)代入得:a=,
則拋物線解析式為y=x2﹣x+3;
(2)存在.
如圖所示,分兩種情況考慮:
∵拋物線解析式為y=x2﹣x+3,
∴其對(duì)稱軸x=﹣=﹣=.
當(dāng)PC⊥CB時(shí),△PBC為直角三角形,
∵直線BC的斜率為﹣,
∴直線PC斜率為,
∴直線PC解析式為y﹣3=x,即y=x+3,
與拋物線對(duì)稱軸方程聯(lián)立得,
解得:,
此時(shí)P(,);
當(dāng)P′B⊥BC時(shí),△BCP′為直角三角形,
同理得到直線P′B的斜率為,
∴直線P′B方程為y=(x﹣4)=x﹣,
與拋物線對(duì)稱軸方程聯(lián)立得:,
解得:,
此時(shí)P′(,﹣2).
綜上所示,P(,)或P′(,﹣2).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
下列運(yùn)算正確( 。
| A. | a•a5=a5 | B. | a7÷a5=a3 |
| C. | (2a)3=6a3 | D | 10ab3÷(﹣5ab)=﹣2b2 |
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
已知A,B兩地相距200千米,一輛汽車以每小時(shí)60千米的速度從A地勻速駛往B地,到達(dá)B地后不再行駛,設(shè)汽車行駛的時(shí)間為x小時(shí),汽車與B地的距離為y千米.
(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系,并寫出自變量x的取值范圍;
(2)當(dāng)汽車行駛了2小時(shí)時(shí),求汽車距B地有多少千米?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
下列事件是必然事件的是( )
A. 地球繞著太陽(yáng)轉(zhuǎn) B. 拋一枚硬幣,正面朝上
C. 明天會(huì)下雨 D. 打開電視,正在播放新聞
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
如圖,△A1B1C1是△ABC向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的,且三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A1(1,1),B1(4,2),C1(3,4).
(1)請(qǐng)畫出△ABC,并寫出點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo);
(2)求出△AOA1的面積.
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