Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分線，O是AB上一點，以OA為半徑的⊙O經(jīng)過點D．

1.（1）求證：BC是⊙O切線；

2.（2）若BD=5，DC=3，求AC的長．

 

Answer 1

 

1.解：（1）證明： 如圖1，連接OD．

∵ OA=OD， AD平分∠BAC，

∴ ∠ODA=∠OAD， ∠OAD=∠CAD．  ………………1分

∴ ∠ODA=∠CAD．    

∴ OD//AC．          …………………………………2分

∴ ∠ODB=∠C=90°．

∴ BC是⊙O的切線．     ……………………………3分         

 

2.（2）解法一： 如圖2，過D作DE⊥AB于E．

∴ ∠AED=∠C=90°．

又∵ AD=AD， ∠EAD=∠CAD，

∴ △AED≌△ACD．

∴ AE=AC， DE=DC=3．

在Rt△BED中，∠BED =90°，由勾股定理，得                  圖2

BE=． ………………………………………………………4分

設(shè)AC=x（x>0）， 則AE=x．

在Rt△ABC中，∠C=90°， BC=BD+DC=8， AB=x+4， 由勾股定理，得

x² +8²= （x+4）²． 

解得x=6． 

即 AC=6．            …………………………………………………………5分

解法二： 如圖3，延長AC到E，使得AE=AB．

∵ AD=AD， ∠EAD =∠BAD，

∴ △AED≌△ABD．

∴ ED=BD=5． 

在Rt△DCE中，∠DCE=90°， 由勾股定理，得

CE=． ………… ……………4分          圖3

在Rt△ABC中，∠ACB=90°， BC=BD+DC=8， 由勾股定理，得     

AC² +BC²= AB ²． 

即 AC² +8²=（AC+4） ²．

解得 AC=6．         …………………………………………………………5分

解析:略