Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，延長CB到E，使BE=AD，連接AE、AC．

（1）求證：AE=AC；

（2）若梯形ABCD的高為2，∠CAD=30°，求梯形ABCD的面積．

 

Answer 1

【答案】

（1）先證得四邊形ABCD是等腰梯形，即得∠BAD＝∠ADC，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BAD＝∠EBA，即得∠ADC＝∠EBA，又AB＝CD，EB＝AD，即可證得△ABE≌△CDA，從而證得結(jié)論；（2）

【解析】

試題分析：（1）先證得四邊形ABCD是等腰梯形，即得∠BAD＝∠ADC，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BAD＝∠EBA，即得∠ADC＝∠EBA，又AB＝CD，EB＝AD，即可證得△ABE≌△CDA，從而證得結(jié)論；

（2）過A作AH⊥BC于點(diǎn)H，則AH＝2，由∠AEH＝∠CAD＝30°，解Rt△AEH可得EH的長，由AE=AC可得CE=2EH=，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和三角形的面積公式求解即可.

（1）∵在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，

∴四邊形ABCD是等腰梯形，

∴∠BAD＝∠ADC，

又由AD//EC，得∠BAD＝∠EBA，

∴∠ADC＝∠EBA，

又AB＝CD，EB＝AD，

∴△ABE≌△CDA，           

∴AE＝AC；

（2）過A作AH⊥BC于點(diǎn)H，則AH＝2

∵∠AEH＝∠CAD＝30°

∴在Rt△AEH中，

∵AE=AC

∴CE=2EH=

又∵△ABE≌△CDA

∴S_梯形ABCD＝S_△AEC＝. 

考點(diǎn)：等腰梯形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，三角形的面積公式

點(diǎn)評：全等三角形的判定和性質(zhì)是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，貫穿于整個(gè)初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，是中考中比較常見的知識點(diǎn)，一般難度不大，需熟練掌握.