Question

如圖，線段AB與⊙O相切于點(diǎn)C，連接OA，OB，OB交⊙O于點(diǎn)D，已知OA=OB=6，AB=6

3

．
（1）求⊙O的半徑；
（2）求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）線段AB與⊙O相切于點(diǎn)C，則可以連接OC，得到OC⊥AB，則OC是等腰三角形OAB底邊上的高線，根據(jù)三線合一定理，得到AC=3

3

，在直角△OAC中根據(jù)勾股定理得到半徑OC的長；
（2）圖中陰影部分的面積等于△OAB的面積與扇形OCD的面積的差的一半．

解答：解：（1）連接OC，則OC⊥AB．（1分）
∵OA=OB，
∴AC=BC=

1

2

AB=

1

2

×6

3

=3

3

．（2分）
在Rt△AOC中，OC=

OA2-AC2

=

62-(3 3 )2

=3，
∴⊙O的半徑為3；（4分）

（2）∵OC=

1

2

OB，
∴∠B=30°，∠COD=60°（5分）
∴扇形OCD的面積為S_扇形OCD=

60×π×32

360

=

3

2

π，（7分）
∴陰影部分的面積為S_陰影=S_Rt△OBC-S_扇形OCD=

1

2

OC•CB-

3

2

π=

9 3

2

-

3

2

π．（8分）

點(diǎn)評：本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)定理，切線垂直于過切點(diǎn)的半徑，并且注意，不規(guī)則圖形的面積可以轉(zhuǎn)化為一些規(guī)則圖形的面積的和或差．