Question

平面直角坐標(biāo)系中邊長(zhǎng)為2的正方形OABC的兩頂點(diǎn)A、C分別在y軸、x軸的正半軸上，點(diǎn)O在原點(diǎn)．如圖，將正方形OABC繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)A點(diǎn)第一次落在直線y＝x上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，AB邊交直線y＝x于點(diǎn)M，BC邊交x軸于點(diǎn)N．

(1)求此時(shí)OA旋轉(zhuǎn)的度數(shù)；

(2)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)MN與AC平行時(shí)，求正方形OABC旋轉(zhuǎn)的度數(shù)；

(3)設(shè)△MBN的周長(zhǎng)為p，在正方形OABC旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，p值是否有變化？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

答案：
解析：

解：延長(zhǎng)BA交軸于E點(diǎn)， 　　(1)∵直線是一、三象限的角平分線 　　∴∠MOE＝∠MON＝×90°＝45° 　　∴A點(diǎn)第一次落在直線y＝x上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)時(shí)，OA旋轉(zhuǎn)了45°；(2分) 　　(2)∵四邊形ABCO是正方形 　　∴∠B＝∠OAB＝∠OCB＝∠AOC＝90°，OA＝OC， 　　且∠BAC＝∠BCA＝45° 　　∵M(jìn)N∥AC，∴∠BMN＝∠BAC＝45°，∠BNM＝∠BCA＝45° 　　∠BMN＝∠BNM．∴BM＝BN．(4分) 　　又∵BA＝BC， 　　∴BA－BM＝BC－BN 　　即AM＝CN． 　　又∵∠OAM＝∠OCN＝90°，OA＝OC， 　　∴△OAM≌△OCN．(6分) 　　∴∠AOM＝∠CON． 　　∴∠AOM＝∠CON＝(∠AOC－∠MON) 　　＝(90°－45°)＝22.5°， 　　∴當(dāng)MN和AC平行時(shí)，正方形OABC旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為22.5°(7分) 　　(3)值無(wú)變化，理由如下： 　　∵由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠AOE＝∠CON．(8分) 　　又∵∠OAE＋∠OAB＝180°，∠OAB＝90° 　　∴∠OAE＝90° 　　∴∠OAE＝∠OCN＝90°， 　　又∵OA＝OC 　　∴△OAE≌△OCN．(9分) 　　∴OE＝ON，AE＝CN 　　又∵∠MOE＝∠MON＝45°， 　　OM＝OM， 　　∴△OME≌△OMN，(10分) 　　∴MN＝ME＝AM＋AE． 　　∴MN＝AM＋CN． 　　∴＝MN＋BN＋BM＝AM＋CN＋BN＋BM＝AB＋BC＝4．(11分) 　　∴在正方形OABC旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中值無(wú)變化．(12)