Question

將矩形ABCD紙片沿對角線AC剪開，得△ABC和△A'C'D，如圖1所示．將△A'C'D的頂點A'與點A重合，并繞點A按逆時針方向旋轉，使點D、A（A'）、B在同一條直線上，如圖2所示．
（1）觀察圖可知：與BC相等的線段是

AD（A′D）

，∠CAC'=

90°

；

（2）如圖3，△ABC中，AG⊥BC于點G，以A為直角頂點，分別以AB、AC為直角邊，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，過點E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q．求證：EP=FQ．
（3）如圖4，△ABC中，AG⊥BC于點G，以A為直角頂點，分別以AB、AC為直角邊，向△ABC外作Rt△ABE和Rt△ACF，過點E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q．若AB=kAE、AC=kAF，探究EP與FQ之間的數量關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據矩形的性質、旋轉的性質填空；
（2）由全等三角形△APE≌△BGA的對應邊相等知，EP=AG；同理由全等三角形△FQA≌△AGC的對應邊相等知FQ=AG，所以易證EP=FQ；
（3）通過相似三角形△AEP∽△BAG的對應邊成比例知：

EP

AG

=

AE

AB

=

1

k

，則易證△FQA∽△AGC，所以

FQ

AG

=

AF

AC

=

1

k

．故EP=FQ．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴如圖1，在Rt△ADC與Rt△ABC中，

AD=BC AC=CA

，
∴Rt△ADC≌Rt△ABC（HL），
即如圖2，Rt△ABC≌Rt△C'DA′，
∴BC=AD，∠BAC=∠DC′A′．
又∵∠DC′A′+∠DA′C′=90°，
∴∠DA′C′+∠CAB=90°，
∴∠CAC′=90°．
故答案分別是：AD（A′D）；90°；

（2）如圖3，∵EP⊥AG，AG⊥BC，
∴∠EPA=∠BGA=90°．
又∵∠EAB=90°，
∴∠PEA=∠GAB，∠PAE=∠GBA（同角的余角相等）．
在△APE與△BGA中，

∠PEA=∠GAB EA=AB ∠PAE=∠GBA

，
∴△APE≌△BGA（ASA），
∴EP=AG（全等三角形的對應邊相等）．
同理，△FQA≌△AGC（ASA），
∴FQ=AG（全等三角形的對應邊相等），
∴EP=FQ（等量代換）；

（3）如圖4，∵EP⊥AG，AG⊥BC，
∴∠EPA=∠BGA=90°．
又∵∠EAB=90°，
∴∠PEA=∠GAB，∠PAE=∠GBA（同角的余角相等），
∴△AEP∽△BAG，
∴

EP

AG

=

AE

AB

=

1

k

（相似三角形的對應邊成比例）．
同理，△FQA∽△AGC，則

FQ

AG

=

AF

AC

=

1

k

（相似三角形的對應邊成比例），
∴

EP

AG

=

FQ

AG

（等量代換），
∴EP=FQ．

點評：本題考查了相似綜合題．其中涉及到的知識點有旋轉的性質、矩形的性質、全等三角形的判定與性質以及相似三角形的判定與性質等．旋轉的性質：旋轉前后的圖形的大小、形狀不變．