Question

如圖，在△ABC中，BA=BC，D在邊CB上，且DB=DA=AC．

（1）如圖1，∠B=______；∠C=______．
（2）如圖2，M為線段BC上一動點，過M作直線MH⊥AD于H，分別交直線AB、AC于點N，E，請寫出BN、CE、CD之間的數(shù)量關系，并證明；
（3）當M是BC中點時，在（2）的條件下，的值是______．（不需證明）

Answer 1

解：（1）∵DB=DA，
∴∠B=∠BAD，
∴DA=AC，
∴∠C=∠ADC，
∵BA=BC，
∴∠C=∠BAC，
在△ABD中，∠ADC=∠B+∠BAD=2∠B，
∴∠C=∠BAC=2∠B，
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°，
即2∠B+∠B+2∠B=180°，
解得∠B=36°，
∴∠C=2∠B=2×36°=72°；

（2）CD=BN+CE．
理由如下：在△ACD中，∠CAD=180°-72°×2=36°，
∵∠B=∠BAD=36°，
∴∠BAD=∠CAD，
∵MH⊥AD，
∴∠AHN=∠AHE=90°，
∵在△ANH和△AEH中，
，
∴△ANH≌△AEH（ASA），
∴AN=AE，
又∵AB=BC，
∴BN=AB-AN=BC-AE，
由圖可知，CE=AE-AC，
又∵CD=BC-BD=BC-AD=BC-AC，
∴CD=BN+CE；

（3）如圖，M為BC的中點時，BM=CM，
過點C作CF∥AB交NE于F，
則∠B=∠MCF，∠ANE=∠CFE，
∵在△BMN和△CMF中，
，
∴△BMN≌△CMF（ASA），
∴BN=CF，
由（2）可知△ANH≌△AEH，
∴∠ANE=∠E，
∴∠CFE=∠E，
∴CE=CF，
在（2）的條件下，CD=BN+CE=CF+CE=CE+CE=2CE，
∴=2．
故答案為：2．
分析：（1）根據(jù)等邊對等角可得∠B=∠BAD，∠C=∠ADC，∠C=∠BAC，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠ADC=2∠B，然后利用三角形內(nèi)角和定理列式計算即可求出∠B，再求出∠C即可；
（2）根據(jù)角的度數(shù)求出∠BAD=∠CAD，然后利用“角邊角”證明△ANH和△AEH全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AN=AE，然后分別表示出BN、CD、CE，觀察不難求解；
（3）M為BC的中點時，過點C作CF∥AB交NE于F，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出∠B=∠MCF，根據(jù)兩直線平行，同位角相等求出∠ANE=∠CFE，然后根據(jù)“角邊角”證明△BMN和△CMF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得BN=CF，根據(jù)（2）求出∠ANE=∠E，然后求出∠CFE=∠E，根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)求出CE=CF，然后代入（2）的結(jié)論計算即可得解．
點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)度數(shù)的相等求出相等的角是本題最大的特點，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關鍵．