Question

如圖，矩形ABCD中，AB=12cm，AD=16cm，動(dòng)點(diǎn)E、F分別從A點(diǎn)、C點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，均以2cm/s的速度分別沿AD向D點(diǎn)和沿CB向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。

（1）經(jīng)過(guò)幾秒首次可使EF⊥AC？

（2）若EF⊥AC，在線段AC上，是否存在一點(diǎn)P，使？若存在，請(qǐng)說(shuō)明P點(diǎn)的位置，并予以證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

 

Answer 1

【答案】

解：（1）設(shè)經(jīng)過(guò)x秒首次可使EF⊥AC，AC與EF相交于點(diǎn)O，

則AE=2x，CF=2x。

∵四邊形ABCD是矩形，∴∠EAO=∠FCO，∠AOE=∠COF。

∴△AOE≌△COF（AAS）。∴AO=OC，OE=OF。

∵AB=12cm，AD=16cm，

∴根據(jù)勾股定理得AC=20cm�！郞C=10cm。

在Rt△OFC中，，∴。

過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC交BC于點(diǎn)H，

在Rt△EFN中,，∴。

解得。

∴經(jīng)過(guò)秒首次可使EF⊥AC。

（2）過(guò)點(diǎn)E作EP⊥AD交AC于點(diǎn)P，則P就是所求的點(diǎn)。證明如下：

由作法，∠AEP=90⁰，

又EF⊥AC，即∠AOE=90⁰�！唷鰽EP∽△AOE。

∴，即。

∴。

【解析】（1）設(shè)經(jīng)過(guò)x秒首次可使EF⊥AC，AC與EF相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC交BC于點(diǎn)H，由AAS證明△AOE≌△COF，得到AO=OC，OE=OF，從而求得OC=10cm，在Rt△OFC中，由勾股定理得。因此，在Rt△EFN中, 由勾股定理得，即，解出即可。

（2）證明△AEP∽△AOE即可得出結(jié)論。