Question

把一邊長(zhǎng)為60cm的正方形硬紙板，進(jìn)行適當(dāng)?shù)募舨�，折成一個(gè)長(zhǎng)方體盒子（紙板的厚度忽略不計(jì)）．
（1）如圖1，若在正方形硬紙板的四角各剪一個(gè)同樣大小的正方形，將剩余部分折成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體盒子．
①要使折成的長(zhǎng)方體盒子的底面積為576cm²，那么剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為多少？
②折成的長(zhǎng)方體盒子的側(cè)面積是否有最大值？如果有，求出這個(gè)最大值和此時(shí)剪掉的正方形的邊長(zhǎng)；如果沒(méi)有，說(shuō)明理由．
（2）如圖2，若在正方形硬紙板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一條邊在正方形硬紙板的邊上），將剩余部分正好折成一個(gè)有蓋的長(zhǎng)方體盒子．若折成的一個(gè)長(zhǎng)方體盒子的表面積為2800cm²，求此時(shí)長(zhǎng)方體
盒子的長(zhǎng)、寬、高（只需求出符合要求的一種情況）．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用,一元二次方程的應(yīng)用

專題：

分析：（1）①設(shè)剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為xcm，根據(jù)題意得出（60-2x）²=576，求出即可；
②設(shè)剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為acm，盒子的側(cè)面積為ycm²，則y與x的函數(shù)關(guān)系為：y=4（60-2a）a，利用二次函數(shù)最值求出即可；
（2）設(shè)剪掉的長(zhǎng)方形盒子的高為xcm，利用折成的一個(gè)長(zhǎng)方形盒子的表面積為2800cm²，得出等式方程求出即可．

解答：解：（1）①設(shè)剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為xcm，
則（60-2x）²=576，
即60-2x=±24，
解得x₁=42（不合題意，舍去），x₂=18，
答：剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為18cm；

②側(cè)面積有最大值，
設(shè)剪掉的小正方形的邊長(zhǎng)為acm，盒子的側(cè)面積為ycm²，
則y與x的函數(shù)關(guān)系為：y=4（60-2a）a，
即y=-8a²+240a=-8（a-15）²+1800，
∵-8＜0，
∴y有最大值，
即當(dāng)a=15時(shí)，y_最大=1800，
即當(dāng)剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為15cm時(shí)，長(zhǎng)方形盒子的側(cè)面積最大為1800cm²；

（2）設(shè)剪掉的長(zhǎng)方形盒子的高為xcm，則長(zhǎng)為60-2x，寬為30-x，
表面積為：2（60-2x）（30-x）+2x（30-x）+2x（60-2x）=2800，
解得：x₁=-40（不合題意，舍去），x₂=10，
即剪掉的長(zhǎng)方形盒子的高為10cm，
則長(zhǎng)為：60-2x=60-2×10=40（cm），
寬為：30-x=30-10=20（cm），
此時(shí)長(zhǎng)方體盒子的長(zhǎng)為40cm，寬為20cm，高為10cm．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用及二元一次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)審題，建立數(shù)學(xué)模型，利用所學(xué)知識(shí)求解．