Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（1，0）、B（5，0）、C（6，3）、D（0，3），點(diǎn)P為線段CD上一點(diǎn)，且∠APB=45°，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為    ．

Answer 1

【答案】分析：首先作等腰直角三角形ABE，使得∠AEB=90°，過點(diǎn)E作MN⊥AB于M，交CD于N，易得點(diǎn)P在以E為圓心，AE長為半徑的圓與CD的交點(diǎn)，即PE=AE，然后利用等腰直角三角形的性質(zhì)與勾股定理，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．
解答：解：作等腰直角三角形ABE，使得∠AEB=90°，過點(diǎn)E作MN⊥AB于M，交CD于N，
∴AM=BM=AB，
∵∠APB=45°=∠AEB，
∴點(diǎn)P在以E為圓心，AE長為半徑的圓與CD的交點(diǎn)，
即PE=AE，
∵A（1，0）、B（5，0），
∴AB=4，
∴AE=AB•cos45°=×4=2，
∴PE=2，EM=AE•sin45°=×2=2，
∵C（6，3）、D（0，3），
∴CD∥OB，CD=6，
∴MN⊥CD，
∵OD⊥CD，OD⊥OB，
∴四邊形OMND是矩形，
∴DN=OM=OA+AM=1+AB=1+2=3，MN=OD=3，
∴EN=MN-EM=3-2=1，
在Rt△PNE中，PN===，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（3+，3）或（3-，3）．
故答案為：（3+，3）或（3-，3）．
點(diǎn)評：此題考查了圓周角定理、等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．