Question

如圖，梯形ABCD，AD∥BC，CE⊥AB，△BDC為等腰直角三角形，CE與BD交于F，連接AF，G為BC中點，連接DG交CF于M．
證明：（1）CM=AB；
（2）CF=AB+AF．

Answer 1

證明：（1）∵△BDC為等腰直角三角形，CE與BD交于F，
∴BD⊥CD，BE⊥CE，
∴∠EBF+∠EFB=90°，∠DFC+∠DCF=90°
∵∠EFB=∠DFC，
∴∠EBF=∠DCF，
又∵G為BC中點，AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBG=∠MDC=45°，
在△ABD與△MCD中，
，
∴△ABD≌△MCD，
∴CM=AB；

（2）∵△ABD≌△MCD，
∴AD=MD，
又∵G為BC中點，AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBG=∠MDB=45°，
在△AFD與△MFD中，
，
∴△AFD≌△MFD，
∴AF=MF；
∴CF=CM+MF=AB+AF，
∴CF=AB+AF．
分析：（1）通過ASA證明△ABD≌△MCD，根據(jù)全等三角形的即可得出性質(zhì)CM=AB；
（2）由△ABD≌△MCD，得到AD=DM，∠ADB=∠MDC，根據(jù)AD∥BC，得到∠ADB=∠DBC=45°，推出∠ADB=∠MDB，證出△ADF≌△MDF，即可得到答案．
點評：本題主要考查對梯形，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等知識點的理解和掌握，綜合運用性質(zhì)進行推理是解此題的關(guān)鍵．