Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形AOBC的邊長(zhǎng)為AO=6，AC=8，

（1）如圖①，E是OB的中點(diǎn)，將△AOE沿AE折疊后得到△AFE，點(diǎn)F在矩形AOBC內(nèi)部，延長(zhǎng)AF交BC于點(diǎn)G．求點(diǎn)G的坐標(biāo)；

（2）定義：若以不在同一直線上的三點(diǎn)中的一點(diǎn)為圓心的圓恰好過另外兩個(gè)點(diǎn)，這樣的圓叫做黃金圓．如圖②，動(dòng)點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位的速度由點(diǎn)C向點(diǎn)A沿線段CA運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q以每秒4個(gè)單位的速度由點(diǎn)O向點(diǎn)C沿線段OC運(yùn)動(dòng)；求：當(dāng) PQC三點(diǎn)恰好構(gòu)成黃金圓時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

 

 

Answer 1

【答案】

（1）(8，)；（2），，． 

【解析】

試題分析：（1）由折疊對(duì)稱的性質(zhì)可得DAOE≌DAFE，從而推出DEFG≌DEBG，得到DAOE∽DAEG，因此AE²=AO×AG，在Rt△AOE中，由勾股定理可得AE²=36+16=52，從而得AG=，在Rt△ABM中，由勾股定理可得CG=，從而BG=，得到G的坐標(biāo)為(8，)；（2）分點(diǎn)C為黃金圓的圓心，點(diǎn)P為黃金圓的圓心，點(diǎn)Q為黃金圓的圓心三種情況討論即可.

試題解析：（1）如圖，連接EG，

由題意得：DAOE≌DAFE，∴ÐEFG=ÐOBC=90⁰.

又∵E是OB的中點(diǎn)，∴EG=EG，EF=EB=4．∴DEFG≌DEBG．

∴ÐFEG=ÐBEG，ÐAOB=ÐAEG=90⁰. ∴DAOE∽DAEG，AE²=AO×AG.

又在Rt△AOE中，∵AO=6，OE=4，∴AE²=36+16=52.

∴52=6×AG，AG=.

在Rt△ABM中，由勾股定理可得CG=，∴BG=．

∴G的坐標(biāo)為(8，) .

（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，

當(dāng)點(diǎn)C為黃金圓的圓心時(shí)，則CQ=CP，

即：2t=10—4t，得到t=，此時(shí)CP=，AP=，P點(diǎn)坐標(biāo)為．

當(dāng)點(diǎn)P為黃金圓的圓心時(shí)，則PC=PQ，

如圖①，過點(diǎn)Q作AC的垂線交AC于點(diǎn)E，CQ=10—4t，CP=2t．

由三角形相似可知：EQ=CQ=，PE=，

則，化簡(jiǎn)得：，

解得 (舍去) ．

此時(shí)，AP=，P點(diǎn)坐標(biāo)為．

當(dāng)點(diǎn)Q為黃金圓的圓心時(shí)，則QC=PQ，

如圖②，過點(diǎn)Q作AC的垂線交AC于點(diǎn)F，CQ=10—4t，CP=2t.

由三角形相似可知：QF=，PF=，

則 ，整理得．

解得 (舍去) ．

此時(shí)，AP=，P點(diǎn)坐標(biāo)為．

綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為，，．

考點(diǎn)：1. 折疊和雙動(dòng)點(diǎn)問題；2.新定義；3.矩形的性質(zhì)；4全等三角形的判定和性質(zhì)；5.相似三角形的判定和性質(zhì)；6.勾股定理；7.解一元二次方程；8.分類思想的應(yīng)用.