Question

已知關(guān)于x的方程是否存在正數(shù)m，使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于224？若存在，求出滿足條件的m的值．

Answer 1

解：假設(shè)存在，則有x₁²+x₂²=224．
∵x₁+x₂=4m-8，
x₁x₂=4m²，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=224．
即（4m-8）²-2×4m²=224，
∴m²-8m-20=0，
（m-10）（m+2）=0，
∴m₁=10，m₂=-2．
∵△=（m-2）²-m²=4-4m≥0，
∴0＜m≤1，
∴m₁=10，m₂=-2都不符合題意，
故不存在正數(shù)m，使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于224．
分析：利用根與系數(shù)的關(guān)系，化簡(jiǎn)x₁²+x₂²=224，即（x₁+x₂）²-2x₁x₂=224．根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可得到關(guān)于m的方程，解得m的值，再判斷m是否符合滿足方程根的判別式．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）根的判別式．當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．考查了根與系數(shù)的關(guān)系，也考查了存在性問(wèn)題的解題方法和格式．