Question

已知∠MON=90°，等邊三角形ABC的一個頂點(diǎn)B是射線ON上的一定點(diǎn)，頂點(diǎn)A于點(diǎn)O重合，頂點(diǎn)C在∠MON內(nèi)部
（1）當(dāng)點(diǎn)A在射線OM上移動到A₁時，連接A₁B，請?jiān)凇螹ON內(nèi)部作出以A₁B為一邊的等邊三角形A₁BC₁（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）設(shè)A₁B與OC交于點(diǎn)Q，BC的延長線與A₁C₁交于點(diǎn)D．求證：△BCQ∽△BA₁D；
（3）連接CC₁，試猜想∠BCC₁為多少度，并證明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）分別以B、A₁為圓心，A₁B長為半徑畫弧，兩弧交于一點(diǎn)C₁，連接A₁C₁，BC₁即可；
（2）根據(jù)條件可以得到∠BCQ=∠BA₁D=60°，∠A₁BD=∠QBC，即可證出△BCQ∽△BA₁D；
（3）首先證明∠ABA₁=∠CBC₁，再利用SAS定理證出△A₁BA≌△C₁BC，即可得到∠BCC₁=∠BAA₁=90°．

解答：解：（1）如圖所示：

（2）∵△ACB和△A₁C₁B都是等邊三角形，
∴∠BCQ=∠BA₁D=60°，
∵∠A₁BD=∠QBC，
∴△BCQ∽△BA₁D；

（3）猜想∠BCC₁=90°，
∵△ACB和△A₁C₁B都是等邊三角形，
∴∠CBA=∠A₁BC₁=60°，A₁B=C₁B，AB=CB，
∴∠ABA₁=∠CBC₁，
在△A₁BA和△C₁BC中：

A1B=C1B ∠A1BA=∠C1BC AB=CB

，
∴△A₁BA≌△C₁BC（ASA），
∴∠BCC₁=∠BAA₁=90°．

點(diǎn)評：此題主要考查了基本作圖的方法，相似三角形的判定，全等三角形的判定，關(guān)鍵是根據(jù)題意正確畫出圖形，理清角之間的關(guān)系，即可證明三角形相似與全等．