Question

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O與BC交于點D，DE⊥AB，垂足為E，ED的延長線與AC的延長線交于點F．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為4，BE=2，求∠F的度數(shù)．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：

分析：（1）如圖，連結(jié)OD．欲證DE是⊙O的切線，只需證得OD⊥ED；
（2）求出AE，證△AED∽△DEB，求出DE，解直角三角形求出∠B=60°=∠ACB，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出即可．

解答：（1）證明：如圖，連接OD，AD．
∵AC是直徑，
∴AD⊥BC，
又∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠BAD=∠CAD，∠B=∠C，BD=CD，
∵AO=OC，
∴OD∥AB，
又∵DE⊥AB，
∴DE⊥OD，
∵OD為⊙O半徑，
∴DE是⊙O的切線；

（2）解：∵⊙O的半徑為4，AB=AC，
∴AC=AB=4+4=8，
∵BE=2，
∴AE=8-2=6，
∵DE⊥AB，AD⊥BC，
∴∠AED=∠BED=∠ADB=90°，
∴∠DAE+∠ADE+∠BDE=90°，
∴∠DAE=∠BDE，
∵∠AED=∠BED，
∴△AED∽△DEB，
∴

AE

DE

=

DE

BE

，
∴

6

DE

=

DE

2

，
解得：DE=2

3

，
在Rt△BED中，tanB=

DE

BE

=

2 3

2

=

3

，
∴∠B=60°，
∴∠CDF=∠EDB=30°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=60°，
∴∠F=∠ACB-∠CDF=60°-30°=30°．

點評：本題考查了切線的判定，相似三角形性質(zhì)和判定，解直角三角形，平行線的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)的應用，注意：要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．