Question

在△ABC和△EDC中，∠ACB=∠ECD=90°，BC=k•AC，CD=k•CE．
（1）如圖1，當(dāng)k=1時(shí)，AE與BD的數(shù)量關(guān)系是：

 

，位置關(guān)系是：

 

；
（2）如圖2，當(dāng)k≠1時(shí)，請(qǐng)?zhí)剿鰽E與BD的關(guān)系，并證明；
（3）如圖3，在（2）的條件下，分別在BD、AE上取點(diǎn)M、N，使得BD=m•MD，AE=m•NE，試探索CN與CM的關(guān)系，并證明．

Answer 1

分析：（1）取k=1時(shí)，BC=AC，CD=CE．由∠BCD+∠BCE=∠ACE+∠BCE=90°，得知∠BCD=∠ACE，從而證明△ACE≌△BCD（SAS）；然后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)變相等，對(duì)應(yīng)角相等求得AE=BD，∠CAE=∠CBD；最后延長(zhǎng)AE交BD于點(diǎn)G構(gòu)建三角形ABG，根據(jù)三角形的內(nèi)角和求得∠AGB=90°，即AE⊥BD；
（2）當(dāng)k≠1時(shí)，BC=k•AC，CD=k•CE．求得

BC

AC

=

CD

CE

=k，由∠BCD+∠BCE=∠ACE+∠BCE=90°，得知∠BCD=∠ACE，從而證明△ACE∽△BCD（SAS）；然后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)變相等，對(duì)應(yīng)角相等求得AE=BD，∠CAE=∠CBD；最后延長(zhǎng)AE交BD于點(diǎn)G構(gòu)建三角形ABG，根據(jù)三角形的內(nèi)角和求得∠AGB=90°，即AE⊥BD；
（3）在（2）的基礎(chǔ)上，求得△ACE∽△BCD，又BD=m•MD，AE=m•NE，所以

CE

CD

=

NE

MD

，∠CDB=∠CEA，從而證明△CNE∽△CMD（SAS），然后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等求得∠BCM=∠ACN，所以∠NCM=∠BCN+∠ACE=∠ACB=90°，即∠NCM=90°．

解答：解：（1）當(dāng)k=1時(shí)，BC=AC，CD=CE．
在△ACE與△BCD中，
∠BCD+∠BCE=∠ACE+∠BCE=90°，
∴∠BCD=∠ACE，
BC=AC，CD=CE，
∴△ACE≌△BCD（SAS）；
∴AE=BD（對(duì)應(yīng)邊相等），
∠CAE=∠CBD（對(duì)應(yīng)角相等）；
延長(zhǎng)AE交BD于點(diǎn)G．
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°；
在△ABG中，
∠ABG+∠BAG=∠ABC+∠BAG+∠CBD=∠ABC+∠BAC=90°，
∴∠AGB=90°，
∴AG⊥BD，即AE⊥BD；

（2）當(dāng)k≠1時(shí)，BC=k•AC，CD=k•CE．
在△ACE與△BCD中，
∠BCD+∠BCE=∠ACE+∠BCE=90°，
∴∠BCD=∠ACE，

BC

AC

=

CD

CE

=k，
∴△ACE∽△BCD（SAS）；
∴∠CAE=∠CBD（對(duì)應(yīng)角相等）；
延長(zhǎng)AE交BD于點(diǎn)G．
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°；
在△ABG中，
∠ABG+∠BAG=∠ABC+∠BAG+∠CBD=∠ABC+∠BAC=90°，
∴∠AGB=90°，
∴AG⊥BD，即AE⊥BD；

（3）CN⊥CM．
證明：∵△ACE∽△BCD（SAS），
∴∠CDB=∠CEA（相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等），
∴

CE

CD

=

AE

BD

（相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例）；
又∵BD=m•MD，AE=m•NE，
∴

AE

BD

=

NE

MD

，
∴

CE

CD

=

NE

MD

；
在△CNE和△CMD中，

CE

CD

=

NE

MD

，∠CDB=∠CEA，
∴△CNE∽△CMD（SAS），
∴∠MCD=∠NCE；
∴∠BCM=∠ACN，
∴∠NCM=∠BCN+∠ACE=∠ACB=90°，即∠NCM=90°，
∴CN⊥CM．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)．解答此題時(shí)，關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形或相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等求得∠AGB=90°，∠NCM=90°．從而證明AE⊥BD，CN⊥CM．