Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，在Rt△DEF中，∠DFE=90°，EF=6，DF=8，E、F兩點在BC邊上，DE、DF兩邊分別與AB邊交于點G、H．固定△ABC不動，△DEF從點F與點B重合的位置出發(fā)，沿BC邊以每秒1個單位的速度向點C運動；同時點P從點F出發(fā)，在折線FD﹣DE上以每秒2個單位的速度向點E運動．當點E到達點C時，△DEF和點P同時停止運動．設運動時間為t（秒）．

（1）當t=2時，PH=cm，DG=cm；
（2）當t為何值時，△PDG為等腰三角形？請說明理由；
（3）當t為何值時，點P與點G重合？寫出計算過程．

Answer 1

【答案】
（1）,
（2）解：∵△BEG∽△BAC，

∴ = ，即 = ，

解得，EG= t+ ，

∴DG=10﹣EG= ﹣ t，

當DG=DP時，

△PDE才能成為等腰三角形，且PD=PE，

∵BF=t，PF=2t，DF=8，

∴PD=DF﹣PF=8﹣2t．

在Rt△PEF中，PE2=PF2+EF2=4t2+36=PD2．即4t2+36=（8﹣2t）2．

解得t= ．

∴t為 時，△PDE為等腰三角形

（3）解：設當△DEF和點P運動的時間是t時，點P與點G重合，

此時點P一定在DE邊上，DP=DG．

由已知可得tanB= = = ，tanD= ，

∴∠B=∠D，

又∵∠D+∠DEB=90°，

∴∠B+∠DEB=90°，

∴∠DGH=∠BFH=90°．

∴FH=BFtanB= t，DH=DF﹣FH=8﹣ t，DG=DHcosD=（8﹣ t） =﹣ t+ ，

∵DP+DF=2t，

∴DP=2t﹣8．

由DP=DG得，2t﹣8=﹣ t+ ，解得t= ，

∵4＜ ＜6，則此時點P在DE邊上．

∴t的值為 時，點P與點G重合

【解析】解：（1）當t=2時，BF=2，PF=4，

∵∠DFE=90°，∠C=90°，

∴△BHF∽△BAC，

∴ = ，即 = ，

解得，F(xiàn)H= ，

∴PH=PF﹣FH= ，

∵tanB= = = ，tanD= ，

∴∠B=∠D，

∴∠BGE=90°，

∴△BEG∽△BAC，

∴ = ，即 = ，

解得，EG= ，

∴DG=10﹣EG= ，

所以答案是： ； ；

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解相似三角形的判定與性質(zhì)的相關知識，掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方，以及對解直角三角形的理解，了解解直角三角形的依據(jù)：①邊的關系a2+b2=c2；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數(shù)的定義．(注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法)．