Question

（1）已知一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根分別為x₁、x₂，則x₁=

 

，x
₂=

 

；x₁+x₂=

 

；x₁x₂=

 

．
（2）應用（1）的結論解答下列問題：已知x₁、x₂是關于x的方程x²-4kx+4=0的兩個實數根，且滿足：x₁²+x₂²-6（x₁+x₂）=-8．求k、x₁、x₂的值．

Answer 1

分析：（1）根據一元二次方程的求根公式與根與系數的關系可得答案；
（2）由（1）可得x₁、x₂的值與其間的關系，x₁²+x₂²-6（x₁+x₂）=-8可化簡為（x₁+x₂）²-2x₁x₂-6（x₁+x₂）=-8，解可得k的值，進而可得x₁、x₂的值．

解答：解：（1）根據一元二次方程的求根公式與根與系數的關系可得：x₁=

-b+ b2-4ac

2

，x₂=

-b- b2-4ac

2

，
x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．

（2）由（1）可得：x₁x₂=

c

a

=4，x₁+x₂=4k；
x₁²+x₂²-6（x₁+x₂）=-8可化簡為（x₁+x₂）²-2x₁x₂-6（x₁+x₂）=-8，
代入可得：16k²-8-6×4k=-8；
解可得k₁=0（舍去），k₂=

3

2

，
故x₁=3+

5

，x₂=3-

5

．

點評：主要考查了根的判別式和根與系數的關系．要掌握根與系數的關系式：x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．把所求的代數式變形成x₁+x₂，x₁x₂的形式再整體代入是常用的方法之一．