Question

如圖，等邊△OAB和等邊△AFE的一邊都在x軸上，雙曲線y＝ (k＞0)經(jīng)過邊OB的中點(diǎn)C和AE的中點(diǎn)D．已知等邊△OAB的邊長為4．

(1)求該雙曲線所表示的函數(shù)解析式；

(2)求等邊△AEF的邊長．

Answer 1

考點(diǎn)：    反比例函數(shù)綜合題。

專題：    代數(shù)幾何綜合題。

分析：    (1)過點(diǎn)C作CG⊥OA于點(diǎn)G，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出OG、CG的長度，從而得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，再利用 待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式列式計(jì)算即可得解；

(2)過點(diǎn)D作DH⊥AF于點(diǎn)H，設(shè)AH＝a，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)表示出DH的長度，然后表示出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再把點(diǎn)D的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，解方程得到a的值，從而得解．

解答：    解：(1)過點(diǎn)C作CG⊥OA于點(diǎn)G，

∵點(diǎn)C是等邊△OAB的邊OB的中點(diǎn)，

∴OC＝2，∠ A OB＝60°，

∴OG＝1，CG＝ ，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是(1， )，

由 ＝ ，得：k＝ ，

∴該雙曲線所表示的函數(shù)解析式為y＝ ；

(2)過點(diǎn)D作DH⊥AF于點(diǎn)H，設(shè)AH＝a，則DH＝ a．

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4＋a， )，

∵點(diǎn)D是雙曲線y＝ 上的點(diǎn)，

由xy＝ ，得 (4＋a)＝ ，

即：a2＋4a－1＝0，

解得：a1＝ －2，a2＝－ －2(舍去)，

∴AD＝2AH＝2 －4，

∴等邊△AEF的邊長是2AD＝4 －8．

點(diǎn)評：    本題是對反比例函數(shù)的綜合考查，包括待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，等邊三角形的性質(zhì)，解一元二次方程，難度不大，作出輔助線，表示出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．