Question

銳角△ABC中，BC=6，S_△ABC=12，兩動(dòng)點(diǎn)M、N分別在邊AB、AC上滑動(dòng)，且MN∥BC，以MN為邊向下作正方形MPQN，設(shè)其邊長(zhǎng)為x，正方形MPQN與△ABC公共部分的面積為y（y＞0），當(dāng)x=    ，公共部分面積y最大，y最大值=    ．

Answer 1

【答案】分析：公共部分分為三種情形：在三角形內(nèi)；剛好一邊在BC上，此時(shí)為正方形；正方形有一部分在三角形外，此時(shí)為矩形．顯然在內(nèi)部時(shí)的面積比剛好在邊上時(shí)要小，所以需比較后兩種情形時(shí)的面積大小．為正方形時(shí)可求出面積的值，為矩形時(shí)需求面積表達(dá)式再求最大值．
解答：解：公共部分分為三種情形：在三角形內(nèi)；剛好一邊在BC上，此時(shí)為正方形；正方形有一部分在三角形外，此時(shí)為矩形．顯然在內(nèi)部時(shí)的面積比剛好在邊上時(shí)要小，所以需比較后兩種情形時(shí)的面積大小．
（1）求公共部分是正方形時(shí)的面積，
作AD⊥BC于D點(diǎn)，交MN于E點(diǎn)，
∵BC=6，S_△ABC=12，
∴AD=4，
∵M(jìn)N∥BC，
∴即，
解得x=2.4，
此時(shí)面積y=2.4²=5.76．

（2）當(dāng)公共部分是矩形時(shí)如圖所示：
設(shè)DE=a，根據(jù)得=，
所以a=4-x，公共部分的面積y=x（4-x）=-x²+4x，
∵-＜0，
∴y有最大值，
當(dāng)x=-=3時(shí)，y_最大值==6．
綜上所述，當(dāng)x=3時(shí)，公共部分的面積y最大，最大值為6．
點(diǎn)評(píng)：此題需分類討論，綜合比較后得結(jié)論．