(2009•懷化)如圖,在直角梯形OABC中,OA∥CB,A、B兩點的坐標分別為A(15,0),B(10,12),動點P、Q分別從O、B兩點出發(fā),點P以每秒2個單位的速度沿OA向終點A運動,點Q以每秒1個單位的速度沿BC向C運動,當點P停止運動時,點Q也同時停止運動.線段OB、PQ相交于點D,過點D作DE∥OA,交AB于點E,射線QE交x軸于點F.設(shè)動點PQ運動時間為t(單位:秒).
(1)當t為何值時,四邊形PABQ是等腰梯形,請寫出推理過程;
(2)當t=2秒時,求梯形OFBC的面積;
(3)當t為何值時,△PQF是等腰三角形?請寫出推理過程.

【答案】分析:(1)可通過構(gòu)建直角三角形來求解.過B作BG⊥OA于G,過Q作QH⊥OA于H.可根據(jù)勾股定理,求出AB的值,用t表示出QP,讓QP=AB,求出t的值;
(2)有了t的值,即可求出OP,CQ,QB的值,根據(jù)平行線段成比例,可以得出AF,進而求出OF的值,這樣就可以求出梯形的面積;
(3)分三種情況進行討論,讓△PQF的三邊兩兩相等,求出t的值.
解答:解:(1)如圖,過B作BG⊥OA于G,
則AB==13.
過Q作QH⊥OA于H,
則QP=
要使四邊形PABQ是等腰梯形,則AB=QP,

∴t=,或t=5(此時PABQ是平行四邊形,不合題意,舍去);
∴t=

(2)當t=2時,OP=4,CQ=10-2=8,QB=2.
∵CB∥DE∥OF,

∴AF=2QB=2×2=4.
∴OF=15+4=19.
∴S梯形OFBC=(10+19)×12=174.

(3)①當QP=PF時,則=15+2t-2t,
∴t=或t=
②當QP=QF時,則=
,
∴t=
③當QF=PF時,則=15,
∴t=或t=-
綜上,當t=,t=,t=,t=時,△PQF是等腰三角形.
點評:①本題綜合考查了勾股定理的應(yīng)用,等腰梯形的判定,等腰三角形的判定和平行線分線段成比例等的知識點;
②由于知識點較多,有一定難度;
③要注意的是(3)中要分三種情況進行討論,不可丟掉任何一種.
練習冊系列答案
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