Question

（2006•徐州）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-2x+12與x軸交于點A，與y軸交于點B，與直線y=x交于點C．
（1）求點C的坐標；
（2）求△OAC的面積；
（3）若P為線段OA（不含O、A兩點）上的一個動點，過點P作PD∥AB交直線OC于點D，連接PC．設(shè)OP=t，△PDC的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；S是否存在最大值？如果存在，請求出來；如果不存在，請簡要說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為直線y=-2x+12與直線y=x交于點C，所以令x=y，即可得到x=-2x+12，解之即可求出點A的坐標；
（2）因為直線y=-2x+12與x軸交于點A，所以令y=0，即可求出A的坐標，也可求出OA的值，利用S_△OAC=×OA×4即可求出三角形的面積；
（3）可分別過點C、D作OA的垂線，設(shè)垂足分別為M、N點，因為PD∥AC，所以，即=，所以DN=t，又因S=S_△OAC-S_△OPD-S_△PAC，將有關(guān)數(shù)據(jù)代入即可求得S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，利用所求的二次函數(shù)解析式，結(jié)合t的取值即可得到當(dāng)t=3時，S有最大值，最大值為3．
解答：解：（1）∵直線y=-2x+12與直線y=x交于點C，
∴x=-2x+12，
解得x=4，（1分）

所以y=4，所以C點的坐標為（4，4）．（2分）

（2）由-2x+12=0得x=6，（3分）
所以S_△OAC=×6×4=12．（4分）

（3）如圖，分別過點C、D作OA的垂線，垂足分別為M、N點，
因為PD∥AC，所以，（5分）
即=，所以DN=t．（6分）
所以S=S_△OAC-S_△OPD-S_△PAC（7分）
=12-OP•DN-PA•CM=12-t•t-（6-t）•4=-t²+2t=-（t-3）²+3．（8分）
當(dāng)t=3時，S有最大值，最大值為3．（10分）
點評：本題主要考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和利用函數(shù)求最值的問題，而解決這類問題常用到分類討論、數(shù)形結(jié)合、方程和轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．