Question

如圖，△ABC有一個內(nèi)接平行四邊形DEFG，△ABC的高AM=80cm，底BC=120cm．
（1）設(shè)DE與AM相交于點(diǎn)N，MN=x，請用含x的式子表示DE的長及?DEFG的面積．
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，?DEFG的面積取最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),二次函數(shù)的最值,平行四邊形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）先根據(jù)AM=80cm，AM⊥BC，MN=x得出AN=AM-MN=80-x，再由四邊形DEFG是平行四邊形得出△ADE∽△ABC，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得出DE的長，再由平行四邊形的面積公式可得出?DEFG的面積表達(dá)式；
（2）根據(jù)（1）中?DEFG的面積表達(dá)式可得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵M(jìn)N=x，AM⊥BC，MN=x，
∴AN=AM-MN=80-x，
∵四邊形DEFG是平行四邊形，
∴DE∥GF，

∴△ADE∽△ABC，
∴

AN

AM

=

DE

BC

，即

80-x

80

=

DE

120

，

∴DE=120-

3

2

x；
∴S_?DEFG=DE•MN=（120-

3

2

x）•x=-

3

2

x²+120x；


（2）∵由（1）知S_?DEFG=-

3

2

x²+120x，
∴當(dāng)x=-

b

2a

=-

120

2×(- 3 2 )

=40cm時(shí)，?DEFG的面積取最大值．

點(diǎn)評：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，涉及到平行四邊形的性質(zhì)及二次函數(shù)的最值問題，難度適中．