Question

（8分）畫圖、證明：如圖，∠AOB=90°，點C、D分別在OA、OB上．

（1）尺規(guī)作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）：作∠AOB的平分線OP；作線段CD的垂直平分線EF，分別與CD、OP相交于E、F；連接OE、CF、DF．

（2）在所畫圖中，

①線段OE與CD之間有怎樣的數量關系，并說明理由．

②求證：△CDF為等腰直角三角形

Answer 1

【解析】
（1）根據題意要求：畫∠AOB的平分線OP，作線段CD的垂直平分線EF；

（2）①OE=CD．

理由：∵∠AOB=90°，E是CD的中點，

∴OE=CD.

②過點F作FM⊥OA、FN⊥OB，垂足分別為M、N．

∵OP是∠AOB的平分線，

∴FM=FN．

又EF是CD的垂直平分線，

∴FC=FD．

∴Rt△CFM≌Rt△DFN，∠CFM=∠DFN．

在四邊形MFNO中，由∠AOB=∠FMO=∠FNO=90°，得∠MFN=90°，

∴∠CFD=∠CFM+∠MFD= ∠DFN+∠MFD=∠MFN=90°，

∴△CDF為等腰直角三角形．

【解析】

試題分析：（1）根據題意，作∠AOB的平分線OP；作線段CD的垂直平分線EF；（2）①由題意，OE是直角三角形斜邊上的中線，根據直角三角形的性質直接得到OE=CD；②△CDF為等腰直角三角形，由EF是垂直平分線容易得到△CDF是等腰三角形，要證明直角三角形比較麻煩，要充分利用△ODE，△OEC是等腰三角形的等角的作用，還有三角形外角的有關結論才能證明．

考點：等腰三角形的判定與性質；線段垂直平分線的性質．