Question

如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx的圖象與一次函數(shù)y=x+2的圖象交于A、B兩點，點A的橫坐標是-1，點B的橫坐標是2．
（1）求二次函數(shù)的表達式；
（2）設(shè)點C在二次函數(shù)圖象的OB段上，求四邊形OABC面積的最大值；
（3）試確定以點A為圓心，半徑為

7

5

的圓與直線OB的位置關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）先求出A、B兩點坐標，將A、B兩點入坐標代入y=ax²+bx即可解得二次函數(shù)的表達式；
（2）設(shè)點C的坐標為（t，t²），表示出S關(guān)于t的解析式，觀察解析式可知當t=1時，四邊形OABC面積S取最大值；
（3）過點A作AD⊥OB于D，根據(jù)三角形的面積公式求出AD的長度，再判斷AD與⊙A的半徑

7

5

的關(guān)系，可知圓A與直線OB相交．

解答：解：（1）把x=-1和x=2代入y=x+2，
得A的坐標為（-1，1），B的坐標為（2，4）．
∵A，B在二次函數(shù)y=ax²+bx的圖象上，
∴

a-b=1 4a+2a=4

，
解得

a=1 b=0

，
∴二次函數(shù)的表達式為y=x²；

（2）如圖，設(shè)四邊形OABC的面積為S，點C的坐標為（t，t²），0＜t＜2，
分別過點A，B，C作x軸的垂線，垂足依次為A₁，B₁，C₁，
則OA₁=1，AA₁=1，OC₁=t，C₁C=t²，B₁C₁=4-t，BB₁=4，
于是，S=S梯形AA1B1B-S△OC1C-S梯形CC1B1B-S△OA1A，
=

1

2

×(1+4)×(1+2)-

1

2

×t×t2-

1

2

×(t2+4)×(2-t)-

1

2

×1×1，
=-t²+2t+3，
=-（t-1）²+4，
∴當t=1時，S的最大值為4．
即四邊形OABC的面積的最大值為4；

（3）可求得OA=

2

，AB=3

2

，OB=2

5

，
∴OA²+AB²=OB²
∴∠OAB=90°
過點A作AD⊥OB于D，
由

1

2

×AD×OB=

1

2

×OA×AB，得
AD=

OA×AB

OB

=

2 ×3 2

2 5

=

3 5

5

，
∵AD＜

7

5

，
∴圓A與直線OB相交．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到的知識點有拋物線的公式的求法和直線與圓的位置關(guān)系等知識點，是各地中考的熱點和難點，解題時注意數(shù)形結(jié)合數(shù)學思想的運用，同學們要加強訓練，屬于中檔題．