Question

（11·兵團(tuán)維吾爾）（10分）如圖，在等腰梯形ABCD中，AD＝4，BC＝9，∠

B＝45°．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)以相同速度從點(diǎn)C出發(fā)沿CD

向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．

（1）求AB的長(zhǎng)；

（2）設(shè)BP＝x，問當(dāng)x為何值時(shí)△PCQ的面積最大，并求出最大值；

（3）探究：在AB邊上是否存在點(diǎn)M，使得四邊形PCQM為菱形？請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）作AE⊥BC，

∵等腰梯形ABCD中，AD＝4，BC＝9，

∴BE＝(BC－AD)÷2＝2.5，

∵∠B＝45°，

（2）作QF⊥BC，

∵等腰梯形ABCD，

∴∠B＝∠C＝45°，

∵點(diǎn)P和點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度、運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同，BP＝x，

∴BP＝CQ＝x，

∵BC＝9，

（3）假設(shè)AB上存在點(diǎn)M，使得四邊形PCQM為菱形，

∵等腰梯形ABCD，∠B＝∠C＝45°，

∴CQ＝CP＝BP＝MP，∠B＝∠C＝∠MPB＝45°，

∴∠BMP＝45°，

∵∠B＝∠MPB＝∠BMP＝45°，不符合三角形內(nèi)角和定理，

∴假設(shè)不存在，

∴邊AB上不存在點(diǎn)M，使得四邊形PCQM為菱形．

【解析】略