Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以M（1，0）為圓心，2為半徑作⊙M與x軸交于A、B兩點（A在B的左側(cè)），與y軸正半軸交于點G，點B與點N關(guān)于y軸對稱，連接NG與GM．
（1）拋物線經(jīng)過點B，求此拋物線函數(shù)解析式；
（2）求證：NG是⊙M的切線；
（3）該拋物線上是否存在這樣的動點P，過P作PF垂直x軸于F，使得△PNF與△GOM相似？若存在，求出動點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（注意：本題中的結(jié)果可保留根號）

Answer 1

【答案】分析：（1）首先根據(jù)圓的半徑求出點B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法將B點的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，就可以求出b的值，從而求出拋物線的解析式．
（2）由勾股定理及點M的坐標(biāo)可以求出OG的長，由B、N關(guān)于y軸對稱求出N點的坐標(biāo)及ON的距離，從而證明△NOG∽△COM，從而得出∠NGO=∠GMO，可以得出∠NGM=90°，得出NG⊥MG．從而證明NG是⊙M的切線．
（3）設(shè)出點P的坐標(biāo)，利用三角形相似對應(yīng)線段成比例就可以求出點P的坐標(biāo)．
解答：解：（1）∵M（1，0），
∴OM=1，
∵⊙M的半徑是2，
∴GM=2，MB=2，
∴OB=3，
∴B（3，0），
∴0=解得：
b=，
∴拋物線的解析式為：；

（2）∵點B與點N關(guān)于y軸對稱，
∴NO=OB=3
在Rt△GOM中由勾股定理，得
OG==
∴，
∴，且∠NOG=∠MOG=90°，
∴△NOG∽△GOM，
∴∠NGO=∠GMO．
∵∠GMO+∠OGM=90°，
∴∠NGO+∠OGM=90°，
即∠NGM=90°
∴MG⊥AG，
∴NG是⊙M的切線；

（3）設(shè)P（a，）
∴OF=-a，PF=，
∴NF=3+a．
當(dāng)△NFP∽△GOM時，
∴，
∴
解得：a=2±
∴P（2+，）或P（2-，）
當(dāng)△NFP∽△MOG時，
∴，
∴，
解得：a=3不符合題意．
∴P點的坐標(biāo)為：P（2+，）或P（2-，）．
點評：本題是一道二次函數(shù)綜合試題，考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，圓與切線相切的判定及運用，相似三角形的判定和運用及動點問題．