Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)C（1，0），在拋物線(xiàn)y=

1

2

x2-

1

2

x-2上存在點(diǎn)B，使△ABC是以AC為直角邊的等腰直角三角形，這樣的點(diǎn)B有（　�。�

• A、4個(gè)
• B、3個(gè)
• C、2個(gè)
• D、1個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,等腰直角三角形

專(zhuān)題：計(jì)算題

分析：先由A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)得到OA=2，OC=1，作出以AC為直角邊作等腰直角△ACN、△ACM、△ACP、△ACQ，作NE⊥x軸于E，再證明△ACO≌△CNE，則CE=OA=2，NE=OC=1，可確定N點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1），同理可得M（-1，-1）、P點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，1）、Q點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），然后把x=3，-1，-2，2代入拋物線(xiàn)的解析式，通過(guò)計(jì)算出的對(duì)應(yīng)的函數(shù)值判斷點(diǎn)M、N、P、Q是否在拋物線(xiàn)上，從而確定滿(mǎn)足條件的B的個(gè)數(shù)．

解答：解：∵點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)C（1，0），
∴OA=2，OC=1，
以AC為直角邊作等腰直角△ACN、△ACM、△ACP、△ACQ，如圖，
作NE⊥x軸于E，
∵∠ACN=90°，
∴∠ACO+∠NCE=90°，
而∠NCE+∠CNE=90°，
∴∠CNE=∠ACO，
在△ACO和△CNE中，

∠AOC=∠CEN ∠ACO=∠CNE AC=CN

，
∴△ACO≌△CNE（AAS），
∴CE=OA=2，NE=OC=1，
∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1），
同理可得M（-1，-1）、P點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，1）、Q點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），
當(dāng)x=3時(shí)，y=

1

2

x2-

1

2

x-2=1；當(dāng)x=-1時(shí)，y=

1

2

x2-

1

2

x-2=-1；當(dāng)x=-2時(shí)，y=

1

2

x2-

1

2

x-2=1；當(dāng)x=2時(shí)，y=

1

2

x2-

1

2

x-2=-1；
∴點(diǎn)N、M、P在拋物線(xiàn)上，
∴滿(mǎn)足條件的B點(diǎn)有三個(gè)，即點(diǎn)B分別在點(diǎn)N、M、P處．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足其解析式．也考查了導(dǎo)尿管腰直角三角形的性質(zhì)和三角形全等的判定與性質(zhì)．