課題研究:現(xiàn)有邊長為120厘米的正方形鐵皮,準備將它設計并制成一個開口的水槽,使水槽能通過的水的流量最大.
初三(1)班數(shù)學興趣小組經(jīng)討論得出結論:在水流速度一定的情況下,水槽的橫截面面積越大,則通過水槽的水的流量越大.為此,他們對水槽的橫截面進行了如下探索:
(1)方案①:把它折成橫截面為直角三角形的水槽(如圖1).
若∠ACB=90°,設AC=x厘米,該水槽的橫截面面積為y厘米2,請你寫出y關于x的函數(shù)關系式(不必寫出x的取值范圍),并求出當x取何值時,y的值最大,最大值又是多少?
方案②:把它折成橫截面為等腰梯形的水槽(如圖2).
若∠ABC=120°,請你求出該水槽的橫截面面積的最大值,并與方案①中的y的最大值比較大小;
(2)假如你是該興趣小組中的成員,請你再提供兩種方案,使你所設計的水槽的橫截面面積更大.畫出你設計的草圖,標上必要的數(shù)據(jù)(不要求寫出解答過程).

【答案】分析:(1)①已知正方形的周長,可求出其邊長,即AC+BC的長,即可表示出BC的長,然后根據(jù)直角三角形的面積公式即可得出y,x的函數(shù)關系式,根據(jù)函數(shù)的性質即可求出y的最大值.
②本題已知了AB+BC+CD=正方形的邊長,可設AB為x,那么CD也為x,BC可用正方形的邊長求得.過B、C作AD的垂線,通過構建的直角三角形,用x表示出BE和AE的長,即可求出上底AD的長,然后根據(jù)梯形的面積公式即可求得y,x的函數(shù)關系式,根據(jù)函數(shù)的性質即可求得函數(shù)的最大值;
(2)由(1)的結果大致可推斷出折的邊數(shù)越多,面積越大,因此折的邊數(shù)無限多即折的圖形為半圓時面積最大,據(jù)此可列出不同的方案.
解答:解:
(1)①y=
當x=60時,y最大值=1800;
②過點B作BE⊥AD于E,CF⊥AD于F,
設AB=CD=xcm,梯形的面積為Scm2,則BC=EF=(120-2x)cm,
AE=DF=x,BE=CF=x,AD=120-x,
∴S=x(240-3x)
當x=40,S最大值=1200,
S最大值>y最大值


(2)方案:①正八邊形一半,②正十邊形一半,③半圓等.
點評:本題主要考查了圖形面積的求法和二次函數(shù)的應用.
練習冊系列答案
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方案②:把它折成橫截面為等腰梯形的水槽(如圖2).
若∠ABC=120°,請你求出該水槽的橫截面面積的最大值,并與方案①中的y的最大值比較大。
(2)假如你是該興趣小組中的成員,請你再提供兩種方案,使你所設計的水槽的橫截面面積更大.畫出你設計的草圖,標上必要的數(shù)據(jù)(不要求寫出解答過程).
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方案②:把它折成橫截面為等腰梯形的水槽(如圖2).
若∠ABC=120°,請你求出該水槽的橫截面面積的最大值,并與方案①中的y的最大值比較大小;
(2)假如你是該興趣小組中的成員,請你再提供兩種方案,使你所設計的水槽的橫截面面積更大.畫出你設計的草圖,標上必要的數(shù)據(jù)(不要求寫出解答過程).

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