Question

如圖，反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象與一次函數(shù)y=mx+b的圖象交于兩點(diǎn)A（1，3），B（n，-1）．
（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求由A、B、O三點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積；
（3）在反比例函數(shù)的圖象上另找點(diǎn)P，使得點(diǎn)A、O、P構(gòu)成的三角形面積與A、B、O三點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積相等，這樣的點(diǎn)還有幾個(gè)？請直接寫出個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（1）先把A（1，3）代入反比例函數(shù)解析式求出k，再把B（n，1）代入反比例函數(shù)解析式求出n，然后利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)y=mx+b的解析式；
（2）先確定C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），然后利用S_△AOB=S_△OBC+S_△AOC進(jìn)行計(jì)算；
（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（a，

3

a

），討論：①當(dāng)點(diǎn)P在第一象限，且在A點(diǎn)的右側(cè)，即a＞1，如圖作AE⊥x軸于E，PF⊥x軸于F，易得S_△AOP=S_梯形AEFP=

1

2

×（

3

a

+3）×（a-1）=4，解得a₁=3，a₂=-

1

3

，滿足條件P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1）；當(dāng)點(diǎn)P在第一象限，且在A點(diǎn)的右側(cè)，即0＜a＜1，S_△AOP=S_梯形AEFP=

1

2

×（

3

a

+3）×（1-a）=4，解得a₁=-3，a₂=

1

3

，得到P點(diǎn)坐標(biāo)為（

1

3

，3）；
②當(dāng)點(diǎn)P在第三象限，即a＜0，PA交y軸于H點(diǎn)，利用待定系數(shù)法求出直線PA的解析式為y=-

3

a

x+

3(a+1)

a

，則H點(diǎn)坐標(biāo)為（0，

3(a+1)

a

），得到S_△AOP=S_△OHP+S_△OAH=

1

2

（-a）•|

3(a+1)

a

|+

1

2

×1×|

3(a+1)

a

|=4，然后討論H點(diǎn)在x軸上方或下方，去絕對值得到兩個(gè)方程，解方程就可確定a的值，從而得到P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A（1，3）在反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上，
∴k=1×3=3，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y=

3

x

；
把B（n，-1）代入y=

3

x

得，n=

3

-1

=-3，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3，-1），
把A（1，3）、B（-3，-1）代入y=mx+b得

m+b=3 -3m+b=-1

，
解得

m=1 b=2

，
故一次函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式為：y=x+2；
（2）對于y=x+2，令x=0，則y=3，
則C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），
則S_△AOB=S_△OBC+S_△AOC=

1

2

×2×3+

1

2

×2×1=4；
（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（a，

3

a

），
當(dāng)點(diǎn)P在第一象限，且在A點(diǎn)的右側(cè)，即a＞1，如圖，作AE⊥x軸于E，PF⊥x軸于F，
∵S_△AOP+S_△OPF=S_△AOE+S_梯形AEFP，
而S_△OPF=S_△AOE，
∴S_△AOP=S_梯形AEFP=

1

2

×（

3

a

+3）×（a-1）=4，解得a₁=3，a₂=-

1

3

，
∴a=3，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1）；
當(dāng)點(diǎn)P在第一象限，且在A點(diǎn)的右側(cè)，即0＜a＜1，
S_△AOP=S_梯形AEFP=

1

2

×（

3

a

+3）×（1-a）=4，解得a₁=-3，a₂=

1

3

，
則a=

1

3

，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（

1

3

，3）；
當(dāng)點(diǎn)P在第三象限，即a＜0，PA交y軸于H點(diǎn)，如圖，
易求出直線PA的解析式為y=-

3

a

x+

3(a+1)

a

，
則H點(diǎn)坐標(biāo)為（0，

3(a+1)

a

），
則S_△AOP=S_△OHP+S_△OAH=

1

2

（-a）•|

3(a+1)

a

|+

1

2

×1×|

3(a+1)

a

|=4，
當(dāng)H點(diǎn)在x軸上方，

1

2

（-a）•

3(a+1)

a

+

1

2

×1×

3(a+1)

a

=4，解得a₁=-3，a₂=

1

3

，
故a=-3，此時(shí)P點(diǎn)與B點(diǎn)重合；
當(dāng)H點(diǎn)在x軸下方，

1

2

（-a）•[-

3(a+1)

a

]+

1

2

×1×[-

3(a+1)

a

]=4，解得a₁=3，a₂=-

1

3

，
則a=-

1

3

，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（-

1

3

，-3），
故滿足條件的P點(diǎn)有三個(gè)：（3，1），（

1

3

，3），（-

1

3

，-3）．

點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式；利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式；運(yùn)用分類討論的方法去探究滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)．