Question

【題目】在△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜45°，點(diǎn)O為AB中點(diǎn)，一個(gè)足夠大的三角板的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)O重合，一邊OE經(jīng)過點(diǎn)C，另一邊OD與AC交于點(diǎn)M．

（1）如圖1，當(dāng)∠A=30°時(shí)，求證：MC2=AM2+BC2；

（2）如圖2，當(dāng)∠A≠30°時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)說明理由；如果不成立，請(qǐng)寫出你認(rèn)為正確的結(jié)論，并說明理由；

（3）將三角形ODE繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，若直線OD與直線AC相交于點(diǎn)M，直線OE與直線BC相交于點(diǎn)N，連接MN，則MN2=AM2+BN2成立嗎？答： （填“成立”或“不成立”）

Answer 1

【答案】(1)、證明過程見解析；(2)、理由見解析；(3)、成立.

【解析】

試題分析：(1)、根據(jù)點(diǎn)O為中點(diǎn)，∠ACB=90°得出OA=OB=OC，根據(jù)∠A=30°可得∠B=∠COB=60°，根據(jù)∠COM=90°得出∠AOM=∠A=30°，則AM=OM，根據(jù)Rt△COM的勾股定理得出所求的答案；(2)、過A作AF‖BC交CO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接FM，證明△BOC≌△AOF，得出BC=AF，F(xiàn)O=CO，根據(jù)Rt△AMF的勾股定理進(jìn)行說明.

試題解析：(1)、∵O為AB中點(diǎn)，∠ACB=90°∴OA=OB=OC，∵∠A=30°∴∠B=60°

∴∠COB=60° ∵∠COM=90°∴∠AOM=∠A=30°∴AM=OM

在Rt△COM中，由勾股定理得MC2=OM2+OC2∴ MC2=AM2+BC2；

(2)、成立。如圖，

過A作AF‖BC交CO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接FM

∵O為AB中點(diǎn)，可證△BOC≌△AOF，∴BC=AF，F(xiàn)O=CO ∵AF‖BC，∠ACB=90°∴∠CAF=90°

∵FO=CO，∠MOC=90°，∴OM是CF的垂直平分線，∴CM=MF，

在Rt△AMF中，由勾股定理得：MF2=AM2+AF2=AM2+BC2， 即MC2=AM2+BC2

(3)、成立。