Question

【題目】要利用28米長(zhǎng)的籬笆和一堵最大可利用長(zhǎng)為12米的墻圍成一個(gè)如圖1的一邊靠墻的矩形養(yǎng)雞場(chǎng)，在圍建的過(guò)程中遇到了以下問題，請(qǐng)你幫忙來(lái)解決．

（1）這個(gè)矩形養(yǎng)雞場(chǎng)要怎樣建面積能最大？求出這個(gè)矩形的長(zhǎng)與寬；
（2）在（1）的前提條件下，要在墻上選一個(gè)點(diǎn)P，用不可伸縮的繩子分別連接BP，CP，點(diǎn)P取在何處所用繩子長(zhǎng)最短？
（3）仍然是矩形養(yǎng)雞場(chǎng)面積最大的情況下，若把（2）中的不可伸縮的繩子改為可以伸縮且有彈性的繩子，點(diǎn)P可以在墻上自由滑動(dòng)，求sin∠BPC的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設(shè)這個(gè)矩形的長(zhǎng)為x米（0＜x≤12），則寬為 米，

根據(jù)矩形的面積公式可知S=x =﹣ （x﹣14）2+98，

∵0＜x≤12，在此區(qū)間內(nèi)面積S關(guān)于長(zhǎng)x的函數(shù)單調(diào)遞增，

∴當(dāng)x=12時(shí)，S取最大值，S最大=96，

此時(shí) =8．

故把整堵墻壁都用起來(lái)，矩形長(zhǎng)為12米，寬為2米時(shí)矩形養(yǎng)雞場(chǎng)的面積最大

（2）

解：作點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接BC′交AD于點(diǎn)P，連接PC，如圖一所示．

∵點(diǎn)C、C′關(guān)于AD對(duì)稱，

∴PC=PC′，

∴PB+PC=PB+PC．

由三角形內(nèi)兩邊之和大于第三邊可知：當(dāng)B、P、C′共線時(shí)PB+PC最小．

∵AD∥BC，

∴△C′PD∽△C′BC，

∴ = ，

∴PD= BC，即P為AD的中點(diǎn)．

此時(shí)C′B= =20（米）．

故當(dāng)點(diǎn)P選在AD中點(diǎn)處時(shí)，需要的繩子最短，最短繩長(zhǎng)為20米

（3）

解：作一個(gè)圓，使該圓經(jīng)過(guò)B、C點(diǎn)且和AD相切，如圖二所示．

任取線段AD上一點(diǎn)P，連接BP、CP，令CP與圓交于點(diǎn)G，連接BG．

∵∠BGC=∠BPC+∠PBG，

∴∠BPC≤∠BGC．

當(dāng)P、G兩點(diǎn)重合時(shí)取等號(hào)，此時(shí)點(diǎn)P為AD的中點(diǎn)．

∵AD=12，AB=8，

∴AP=6，

由勾股定理得：BP= =10，

∵△PBC的面積S= BPCPsin∠BPC= ×10×10sin∠BPC= BCAB= ×12×8，

∴sin∠BPC= ．

故sin∠BPC的最大值為

【解析】（1）設(shè)這個(gè)矩形的長(zhǎng)為x米（0＜x≤12），則寬為 米，根據(jù)矩形的面積=長(zhǎng)×寬，即可得出面積S關(guān)于長(zhǎng)x之間的函數(shù)關(guān)系式，由二次函數(shù)在x的取值范圍內(nèi)的單調(diào)性即可得出結(jié)論；（2）作點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接BC′交AD于點(diǎn)P，連接PC，由三角形中兩邊之和大于第三邊可知，當(dāng)B、P、C′共線時(shí)PB+PC最小，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出P點(diǎn)在AD中點(diǎn)時(shí)，用的繩子最短，求出此時(shí)C′B的長(zhǎng)度即可；（3）作一個(gè)圓，使該圓經(jīng)過(guò)B、C點(diǎn)且和AD相切，由外角知識(shí)及圓周角定理可知∠BPC≤∠BGC（P、G重合時(shí)取等號(hào)），根據(jù)三角形的面積公式即可算出取最大值時(shí)sin∠BPC的值．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解軸對(duì)稱-最短路線問題的相關(guān)知識(shí)，掌握已知起點(diǎn)結(jié)點(diǎn)，求最短路徑；與確定起點(diǎn)相反，已知終點(diǎn)結(jié)點(diǎn)，求最短路徑；已知起點(diǎn)和終點(diǎn)，求兩結(jié)點(diǎn)之間的最短路徑；求圖中所有最短路徑．