Question

如圖，已知直線y＝－m(x－4)（m＞0）與x軸、y軸分別交于A、B兩點，以OA為直徑作半圓，圓心為C．過A作x軸的垂線AT，Ｍ是線段OB上一動點（與O點不重合），過M點作半圓的切線交直線AT于N，交AB于F，切點為P．連結CN、CM．

（1）證明：∠MCN＝90°；

（2）設OM＝x，AN＝y(tǒng)，求y關于x的函數(shù)解析式；

（3）若OM＝1，當m為何值時，直線AB恰好平分梯形OMNA的面積．

Answer 1

（1）證明：∵AT⊥AO，OM⊥AO，AO是⊙C的直徑，

 　　∴AT、OM是⊙C的切線．

 

     又∵MN切⊙C于點P

∴∠CMN＝∠OMN，∠CNM＝∠ANM

∵OM∥AN

∴∠ANM＋∠OMN ＝180°

∴∠CMN＋∠CNM ＝∠OMN＋∠ANM

＝(∠OMN＋∠ANM )＝90°，

 ∴∠CMN＝90°　                               

（2）解：由（1）可知：∠1＋∠2 ＝ 90 °，而∠2 ＋∠3 ＝ 90 ⁰，

∴∠1 ＝∠3；∴Rt△MOC∽Rt△CAN　　∴ ＝   　　

∵直線y＝－m(x 4)交x軸于點A，交y軸于點B，

∴A（4，0）， ∴AC ＝CO ＝ 2

∵ OM＝ x，AN ＝ y， ∵ ＝    ∴y ＝   

（3）解：∵ OM ＝ 1，∴ AN ＝y(tǒng) ＝ 4，此時S_{四邊形ANMO} ＝ 10

∵直線AB平分梯形ANMO的面積，∴ △ANF的面積為5

過點F作FG⊥AN于G，則FG?AN＝5，∴FG＝

     ∴點F的橫坐標為4－ ＝            

     ∵M（0，1），N（4，4） ∴直線MN的解析式為y＝ x＋1　

     ∵F點在直線MN上，∴ F點的縱坐標為y＝   ∴ F（，）　　

     ∵點F又在直線y＝－m(x－4)上  ∴ ＝－m(－4)  ∴m＝