Question

“災(zāi)難無情人有情”，四川汶川發(fā)生大地震后，一批武警官兵奉命營救小山兩側(cè)A、B兩地的被困人員，為了圓滿完成空降任務(wù)，需知道小山高度及A、B兩地的距離．已知當(dāng)飛機飛至高空C處時，發(fā)現(xiàn)飛機與山頂P及村莊B在同一條直線上，且點A、B、C、P在同一平面內(nèi)，并測得A、B兩地的俯角分別為75°和30°，飛機離A地的距離AC=1400米，又知在A處觀測山頂P的仰角為45°，求AB兩地的距離及小山的高 （結(jié)果保留根號）．

Answer 1

分析：首先過點A作AE⊥BC于E，過點C作CF⊥AB于F，根據(jù)題意得：∠DCA=75°，∠DCB=30°，DC∥AB，然后由三角函數(shù)的知識，即可求得AE與EC的值，繼而求得AB的值與小山的高．

解答：解：過點A作AE⊥BC于E，過點P作PH⊥AB于H，
∵根據(jù)題意得：∠DCA=75°，∠DCB=30°，DC∥AB，
∴∠CAF=∠DCA=75°，∠BCA=∠DCA-∠BCA=45°，
∴∠B=∠CAF-∠BCA=75°-45°=30°，
∴AE=EC=AC•sin∠ECA=1400×

2

2

=700

2

（米）
∴AB=

AE

sin∠B

=

700 2

1 2

=1400

2

（米），
∴BE=AB•cos∠B=1400

2

×

3

2

=700

6

（米），
∴BC=BE+EC=700

6

+700

2

（米），
∵∠B=∠B，∠BAP=∠BCA=45°，
∴△ABP∽△CBA，
∴

AB

BC

=

PH

AE

，
∴

1400 2

700 6 +700 2

=

PH

700 2

，
解得：PH=700

6

-700

2

（米）．
∴AB=1400

2

米，山高為（700

6

-700

2

）米．

點評：此題考查仰角與俯角的定義，直角三角形的求解方法等知識．解此題的關(guān)鍵是借助仰角與俯角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形．