Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于A（-3，0）、B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C（0，

3

）．連接AC、BC．
（1）則拋物線的對稱軸為直線

x=-1

；拋物線的解析式為

y=-

3

3

x2-

2 3

3

x+

3

；
（2）若點(diǎn)M，N同時(shí)從B點(diǎn)出發(fā)，均以每秒1個(gè)單位長度的速度分別沿BA，BC邊運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t時(shí)，連接MN，將△BMN沿MN翻折，B恰好落在AC的P，求t值及點(diǎn)P坐標(biāo)；
（3）拋物線對稱軸上是否存在一點(diǎn)F，使得△ACF是等腰三角形？若不存在請說明理由；若存在，請直接寫出F點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）A、B是對稱點(diǎn)，據(jù)此即可求出函數(shù)的對稱軸，利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式；
（2）易證四邊形BMPN是菱形，則PN平行MB（即x軸），可以得到△CPN∽△CAB，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等即可求得t的值，以及P的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)AE=AC時(shí)，可以求得AC的長，設(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點(diǎn)是H，設(shè)出F的縱坐標(biāo)，在直角△AMH中，利用勾股定理即可列方程求得F的坐標(biāo)；
當(dāng)CF=CA時(shí)，作CG⊥對稱軸與點(diǎn)G，設(shè)出F的縱坐標(biāo)，在直角△AGH中，利用勾股定理即可列方程求得F的坐標(biāo)；
當(dāng)FA=FC時(shí)，F(xiàn)點(diǎn)為AC垂直平分線與對稱軸的交點(diǎn)，據(jù)此即可求得．

解答：解：（1）（每空（2分），共4分）對稱軸為x=-1；
設(shè)拋物線的解析式是y=a（x+3）（x-1），
代入C的解析式得：a×3×（-1）=

3

，則a=-

3

3

，
則拋物線的解析式為y=-

3

3

(x+3)(x-1)，
或是y=-

3

3

x2-

2 3

3

x+

3

．
（2）如圖1，

∵M(jìn)、N點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度相同，
∴BM=BN=t，又由翻折可得，NB=NP=t，MB=MP=t，
∴四邊形BMPN是菱形，
∴PN平行MB（即x軸），
∴△CPN∽△CAB，
∴

PN

AB

=

CN

CB

，易得AB=4，BC=2，
∴

t

4

=

2-t

2

，解得t=

4

3

，
∴NB=

4

3

，
∴CN=

2

3

，
∴

CN

CB

=

CD

CO

=

DN

OB

，代入可解得CD=

3

3

，DN=

1

3

，
∴OD=

2 3

3

，PD=1，
∴P(-1，

2 3

3

)．
（3）（前2種情況各（2分），最后一種（1分），共5分）

設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，a）
①如圖2，當(dāng)AF=AC時(shí)，∵AC=2

3

，
∴AF=2

3

，
∴EF=2

2

，
∴F₁（-1，2

2

），F(xiàn)₂（-1，-2

2

）；
②如圖3，當(dāng)CE=CA時(shí)，
∴CF=2

3

，易得CG=1，
∴FG=

11

，
∴EF=

11

-

3

，
∴F₃（-1，

3

-

11

），F(xiàn)₄（-1，

3

+

11

）；
③如圖4，當(dāng)FA=FC時(shí)，F(xiàn)點(diǎn)為AC垂直平分線與對稱軸的交點(diǎn)，
則PF₅=2PH=2（CH-CP）=2(

3

-

2 3

3

)=

2 3

3

，而PF=OD=

2 3

3

，
所以F₅與E點(diǎn)重合，坐標(biāo)為（-1，0）．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)與等腰三角形的綜合應(yīng)用題，正確進(jìn)行討論是關(guān)鍵．