Question

已知開口向上的拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A（-3，0）、B（1，0）兩點，與y軸交于C點，∠ACB不小于90°．
（1）求點C的坐標（用含a的代數(shù)式表示）；
（2）求系數(shù)a的取值范圍；
（3）設拋物線的頂點為D，求△BCD中CD邊上的高h的最大值．
（4）設E，當∠ACB=90°，在線段AC上是否存在點F，使得直線EF將△ABC的面積平分？若存在，求出點F的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵拋物線 y=ax²+bx+c過點A（-3，0），B（1，0），
∴消去b，得 c=-3a．
∴點C的坐標為（0，-3a），
答：點C的坐標為（0，-3a）．

（2）當∠ACB=90°時，
∠AOC=∠BOC=90°，∠OBC+∠BCO=90°，∠ACO+∠BCO=90°，
∴∠ACO=∠OBC，
∴△AOC∽△COB，，
即 OC²=AO•OB，
∵AO=3，OB=1，
∴OC=，
∵∠ACB不小于90°，
∴OC≤，即-c≤，
由（1）得 3a≤，
∴a≤，
又∵a＞0，
∴a的取值范圍為0＜a≤，
答：系數(shù)a的取值范圍是0＜a≤．

（3）作DG⊥y軸于點G，延長DC交x軸于點H，如圖．
∵拋物線 y=ax²+bx+c交x軸于A（-3，0），B（1，0）．
∴拋物線的對稱軸為x=-1．
即-=-1，所以b=2a．
又由（1）有c=-3a．
∴拋物線方程為 y=ax²+2ax-3a，D點坐標為（-1，-4a）．
于是 CO=3a，GC=a，DG=1．
∵DG∥OH，
∴△DCG∽△HCO，
∴，即，得 OH=3，表明直線DC過定點H（3，0）．
過B作BM⊥DH，垂足為M，即BM=h，
∴h=HB sin∠OHC=2 sin∠OHC．
∵0＜CO≤，
∴0°＜∠OHC≤30°，0＜sin∠OHC≤．
∴0＜h≤1，即h的最大值為1，
答：△BCD中CD邊上的高h的最大值是1．

（4）由（1）、（2）可知，當∠ACB=90°時，，，
設AB的中點為N，連接CN，則N（-1，0），CN將△ABC的面積平分，
連接CE，過點N作NP∥CE交y軸于P，顯然點P在OC的延長線上，從而NP必與AC相交，設其交點為F，連接EF，
因為NP∥CE，所以S_△CEF=S_△CEN，
由已知可得NO=1，，而NP∥CE，
∴，得 ，
設過N、P兩點的一次函數(shù)是y=kx+b，則，
解得：，
即 ，①
同理可得過A、C兩點的一次函數(shù)為 ，②
解由①②組成的方程組得，，
故在線段AC上存在點滿足要求．
答：當∠ACB=90°，在線段AC上存在點F，使得直線EF將△ABC的面積平分，點F的坐標是（-，-）．
分析：（1）由拋物線 y=ax²+bx+c過點A（-3，0），B（1，0），得出c與a的關系，即可得出C點坐標；
（2）利用已知得出△AOC∽△COB，進而求出OC的長度，即可得出a的取值范圍；
（3）作DG⊥y軸于點G，延長DC交x軸于點H，得出拋物線的對稱軸為x=-1，進而求出△DCG∽△HCO，得出OH=3，過B作BM⊥DH，垂足為M，即BM=h，根據(jù)h=HB sin∠OHC求出0°＜∠OHC≤30°，得到0＜sin∠OHC≤，即可求出答案；
（4）連接CE，過點N作NP∥CD交y軸于P，連接EF，根據(jù)三角形的面積公式求出S_△CAEF=S_{四邊形EFCB}，根據(jù)NP∥CE，求出 ，設過N、P兩點的一次函數(shù)是y=kx+b，代入N、P的左邊得到方程組，求出直線NP的解析式，同理求出A、C兩點的直線的解析式，組成方程組求出即可．
點評：本題主要考查對用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，三角形的面積，解二元一次方程，相似三角形的性質(zhì)和判定，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質(zhì)進行計算是解此題的關鍵．